Ecuaciones diferenciales

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
“LICEO PADRE LAS CASAS”
MISION SUCRE, EDO. LARA

[pic]

Triunfadora:
Carolina Vargas C.I 13881669
Profesora:
Nigme Cadenas
Programa de formación:
Simulacion en sistemas
Sección: 203S

INTRODUCCION
Las ecuaciones de diferencias finitas es una clásica aproximación para encontrar la soluciónnumérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.
Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema deecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).

LAS ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS

El computador es una maquina que opera secuencialmente. Si hiciéramos una diagrama de tiempo de su procesamiento se observaría una secuencia de cambios en forma de pasos; en otras palabras, su funcionamiento es discreto.Desde este punto de vista, si tenemos un problema que puede ser descrito por un algoritmo, o una secuencia lógica de operaciones, entonces lo podemos resolver con un programa en una computadora digital. Este es, precisamente, el caso de las ecuaciones de diferencias finitas.

Se pueden tener ecuaciones diferenciales de primer orden:

[pic] +5

De esta ecuación sepueden obtener una serie de resultados de forma secuencial a partir de n = 0 y hasta un valor N deseado. Decimos que es una ecuación de primer orden, debido a que entre las ecuaciones hay una sola iteración;

(n + 1) – (n) = 1.

La manera lógica de simular ecuaciones diferenciales, es obteniendo el equivalente de la misma en términos de ecuaciones de diferenciales finitas, para ellos sedarán a conocer algunas técnicas utilizadas:

METODO DE EXPANSION DE TAYLOR
El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que también deduce los términos de error.

Para una derivada de p-ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridospara deducir una aproximación de diferencia es [pic]
, así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción de la aproximación de diferencia para [pic]
en términos de [pic]
La expansión de Taylor de [pic]
alrededor de [pic]
[pic]

DIFERENCIAS FINITAS EN UNA DIMENSION
Supongamos estarfrente a un simple problema unidimensional de contorno, esto es, queremos determinar una función[pic], la cual satisfaga una ecuación diferencial dada en una región[pic], junto con condiciones de contorno apropiadas es [pic]
y[pic]
.

DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSION
El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente unpoco más comprometido, aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión.
Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región [pic]
rectangular), regido por la ecuación diferencial siguiente:
[pic]
Aquí [pic]
es el módulo elástico transversal [pic]
, dónde [pic]
es el módulo elástico longitudinal y [pic]
es la relación de Poisson;[pic]
es el ángulo de torsión de cada sección y [pic]
es la función de tensión que satisface la condición [pic]
en los contornos.

SOLUCION DE ECUACIONES DIRERENCIALES

Par la explicación de este punto se utilizara un ejemplo simple, en el que se intenta resolver una ecuación de diferencias que aproxima a una ecuación diferencial:

y (t) + y (t) = 0, y ([pic]) = [pic]...