ecuaciones diferenciales

Certamen No1 Ecuaciones diferenciales
ordinarias
Profesores: Patricio Cumsille - Igor Kondrashuk
20 de mayo de 2008
Problema 1. Considerela siguiente ecuaci´n diferencial:
o
y ′ + ay = b exp(−λt),
donde a, λ son constantes positivas y b es cualquier n´ mero real.
u
(a)Resuelva la ecuaci´n para a = 2, λ = 1 y b = −3.
o
(b) Resuelva la ecuaci´n para a = λ = 1 y b = −3.
o
(c) Muestre que, en ambos casos, lasoluci´n y(t) → 0 cuando t → ∞.
o
(d) Muestre ahora que, para cualquier valor de a > 0, λ > 0 y b, la soluci´n y(t) → 0 cuando
o
t → ∞.Problema 2. Considere la siguiente ecuaci´n diferencial ordinaria:
o
y ′ = 2y 2 + xy 2
(a) Encuentre la soluci´n general de esta ecuaci´n.
o
o(b) Encuentre el punto x0 donde la soluci´n de la ecuaci´n alcanza su m´
o
o
ınimo.
Problema 3. Resuelva la ecuaci´n
o
(x2 + y 2)dx − (xy+ y 2 )dy = 0.
Problema 4. Una poblaci´n de hormigas crece seg´ n la ley:
o
u

 dy
= (1 + sin t) exp(t)y
dt
 y(0) = 100

(a)Estime el tiempo τ en el cual la poblaci´n de hormigas es de 10 veces la poblaci´n inicial.
o
o
Elija otra condici´n inicial y(0) = y0 y digac´mo el tiempo τ depende de y0 .
o
o

(b) Suponga que el t´rmino sin t en la ecuaci´n diferencial se reemplaza por sin(2πt). ¿Qu´ efecto
e
oe
tiene esto en el tiempo τ de la parte anterior?
(c) Dibuje las soluciones obtenidas en la parte (a) y (b) en un mismo gr´fico.
a