Ecuaciones Diferenciales

Condiciones Iniciales
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a xo, el problema
Resolver: dny = F(x, y, y',..., y(n-1))
dxn
Sujeta a: y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1,
En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes realesespecificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.
Condiciones De Linealidad
Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es lineal cuando f es una función lineal de y,y',..., y(n-1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
en esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo termino donde aparece y es1.
ii) Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.
Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresióndel lado izquierdo es una diferencial exacta.
ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
dy + P(x)y = f(x)yn
dx
en que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuacion lineal.
ecuación Diferencial
Es una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a unao mas variables independientes es una ecuación diferencial.
ecuación Diferencial Lineal
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia.Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.
Factor Integrante
El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo bernoulli para poder obtener su solución.
Familia De Curvas
Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera unafamilia de curvas.
función Homogénea
Cuando una función f tiene la propiedad
F(tx,ty) = ta f(x,y)
Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque
F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y).
mientras que f(x,y = x3 + y3 + 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden,
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.
Grado De Una ecuación Diferencial
Para un numero real n, se dice que f es una función de grado n; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 + 1 es de grado 3.
Orden de una ecuación diferencial
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en laecuación. Por ejemplo,
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex
dx2 dx
es una ecuación diferencial de segundo orden.
Método De Variables Separables
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma
dy = g(x)h(x)
dx
es separable, o de variables separables.
Soluciones Explicitas E Implícitas
Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable...