Ecuaciones diferenciales

Matemáticas IV

Taller 5.

1. Un modelo para la propagación de una enfermedad en una población, un modelo
epidemiológico, está dado por el sistema
dS
= −aSI
dt
dI
= aSI − bI
dt
donde a yb son constantes positivas. S(t) representa la población susceptible,
I(t) la población infectada después de t días; la constante a es la medida de que
tan rápido se difunde la enfermedad de unapersona contagiada a la población
susceptible y b representa la rapidez con la que las personas enfermas se curan
(son eliminadas de I(t) y resultan inmunes).
Halle una curva en las variables S, I quesea solución del modelo.
Si a = 0.003 y b = 0.5, ¿Qué curva corresponde a la condición inicial una persona
infectada y 700 suceptibles? Muestre que en el momento más álgido hay enfermasaproximadamente 167 personas.
2. Solucionar el sistema X = AX donde la matriz A es
i.
A=

1 1
4 −2

La figura 1 muestra el diagrama de fase del sistema.

Figura 1 Plano Fase
ii.

1

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Taller 5.

A=

2 5
−2 0

La figura 2 muestra el diagrama de fase del sistema.

Figura 2 Plano Fase
iii.
A=

5 −4
1 1

La figura 3 muestra el diagrama de fase del sistema.

Figura3 Plano Fase
iv.



0.1 −1
0
A =  1 0.1
0 
0
0 −0.2
La figura 4 muestra el diagrama de fase del sistema.

2

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Taller 5.

Figura 4 Plano Fase
v.



−1 2
0A =  2 −4 0 
0
0 −1
3. Dos cantidades de una solución química están separadas por una membrana. Si
x(t) y y(t) representan las cantidades de químico en el tiempo t en cada lado de
la membranay si V1 y V2 representan los volúmenes constantes de cada solución;
el problema de difusión se puede modelar mediante el sistema:
p
p
p
p
x = y− x
y = x− y
V2
V1
V1
V2
p es una constantepositiva, llamada la permeabilidad de la membrana.
Halle la solución del sistema. Si x(0) = x0 y y(0) = y0 determine el comportamiento del sistema cuando t → ∞
4. El cambio en las cantidades x y y...