Ecuaciones Diferenciales

Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

MOISES VILLENA MUÑOZ

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

Introducción
Ecuaciones Lineales
Ecuaciones de Bernoulli
Ecuaciones separables
Ecuaciones Homogéneas
Ecuaciones exactas
Factor Integrante
Estabilidad dinámica del equilibrio
Aplicaciones
Objetivos.

Se persigue que el estudiante:
• Encuentre
solucionesgenerales y/o
particulares de Ecuaciones Diferenciales de
primer orden
• Determine Estabilidad dinámica cuantitativa
y/o cualitativamente
• Resuelva
problemas
de
aplicaciones
económicas

1

Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

MOISES VILLENA MUÑOZ

1.1 INTRODUCCIÓN
En ciertas ocasiones resolver un problema puede conducir a plantear

y = ex

una ecuación que contienederivadas. Por ejemplo, suponga que

dy
= 2 xe x
dx

entonces

2

;

la

razón

de

cambio

relativa

y´
y

2

sería

2

y´ 2 xe x
= x2 = 2 x ,
y
e

despejando tenemos

y´−2 xy = 0 . Esta última expresión

representa una ecuación diferencial.

1.1.1 Definición de Ecuación Diferencial

Una ecuación que contiene derivadas de una o más
variables dependientescon respecto a una o más
variables independientes se denomina Ecuación
Diferencial.
Ejemplo
y´−2 xy = 0

y = f ( x)

donde

Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el
caso del ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
Si la función desconocida depende de más de una variable se llama
Ecuación Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales.Ejemplo
∂z
∂z
+ 2 xy
= xz
∂x
∂y

donde

z = f ( x, y )

Aquí nos dedicaremos sólo al estudio de las Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias.

1.1.2 Orden de una ecuación diferencial
El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivada
presente en la ecuación:

Ejemplos
1.

2

dy
− 2 xy = 0 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden
dx

Cap. 1Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

MOISES VILLENA MUÑOZ

2.

d2y
dx 2

+ xy = y´ Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden

d4y
d2y
+ 3 2 = 2 Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Cuarto Orden
3.
dx 4
dx

1.1.3 Grado de una ecuación diferencial
El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente entero
positivo de la más alta derivada presente en laecuación.

Ejemplos
y´´+5( y´)3 − 4 y = x Una Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden y

1.

primer grado
2.

( y´)2 − 2 xy = 0

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer orden y segundo
grado

1.1.4 Ecuaciones Lineales

Una Ecuación Diferencial es lineal si lo es en todas
sus derivadas y también en su variable dependiente.
Ejemplos
1.

2.

dy
+ 2 xy = 0 Una EcuaciónDiferencial Ordinaria Lineal de primer orden
dx

d2y
dy
+x
−y=0
2
dx
dx

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Lineal de
Segundo Orden

Como ejemplos de Ecuaciones Diferenciales no lineales, tenemos:

Ejemplos
y´´+5( y´)3 − 4 y = x
2. yy´−2 x = 2
3. ( x + y ) dx + ( x − y ) dy = 0
1.

y´− y = e y
5. y´− y = cos y

4.

3

Cap. 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer ordenMOISES VILLENA MUÑOZ

Usualmente una Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria se puede
representar en forma polinómica de la siguiente manera:

[a n ( x)]y ( n ) + [a n−1 ( x)]y ( n−1) +

+ [a 0 ( x ) ]y = g ( x )

1.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial
Se dice que una función

y = f ( x)

definida en un intervalo

I , es

solución de una ecuación diferencial en el intervaloI , si sustituida en la
ecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera; es decir, se
convierte en una identidad.
Ejemplo
Determinar si la función

y = f ( x) =

x4
16

1

es solución de la ecuación y´− xy 2 = 0 .

SOLUCIÓN:
De

y=

x4
16

se obtiene y´= 4 x

Reemplazando resulta:

3

16

=

x3
4

y´− xy 1 / 2 = 0
1/ 2

4
x3
⎛x ⎞
− x⎜ ⎟ = 0
4...