Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones enderivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ecuación diferencial ordinaria
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de lasecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuacioneslineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

Introducción
Si F es una relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
(1a)
La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:
(1b)
Donde los representan funcionesdependientes de t.
Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

Definiciones
Ecuación diferencial ordinaria
Si y es una función desconocida:

de x siendo la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1)
es llamada una ecuacióndiferencial ordinara (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,
,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.
Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

es llamada una ecuación diferencial explícita.
Una ecuación diferencial que no depende de x esdenominada autónoma.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.

Soluciones
Dadauna ecuación diferencial

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.
Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variablesarbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.
Tipos de EDOs y forma de resolución
Existen diversos tipos de ecuacionesdiferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

Existencia y unicidad de soluciones
El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda...