ecuaciones diferenciales


Equation Chapter 1 Section 1ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER



Ecuación:
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Existen diversos tipos de ecuaciones: algebraicas, trascendentes, diferenciales,integrales, funcionales, etc.

Conjunto de soluciones:
Dada la ecuación, el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por  , donde es la imagen inversa de . Si  es el conjunto vacío, la ecuación no es soluble; si tiene sólo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y si  posee más de un elemento, todos ellos serán soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales,no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Orden de la ecuación:
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de laecuación:
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Derivadas:
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Perovayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En \* MERGEFORMAT (.)esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.

Primitiva:
Función primitiva o antiderivada de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es lafunción dada.

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.


Diferencial
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) osimplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

DEFINICION:
Una ecuacióndiferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita.
Ejemplo de ecuaciones diferenciales
1.
2.
3.
4.
5.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en dos tipos:
Ecuación diferencial ordinaria:

Si la función incógnita depende de una sola variable independiente, en la cual solo aparecen derivadas ordinarias.Ecuación diferencial parcial:
Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas son derivadas son derivadas parciales.


Grado:
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de laecuación diferencial.
Ejemplo
El grado de la ecuación diferencial es:
de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.

SOLUCIONES
Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.
Ejemplo
La función definida por es una solución de la ecuación diferencial:


puesto que:
y al sustituir en la ED se obtiene una...