Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
´ Ignacio Gracia Rivas 1 , Narciso Roman-Roy 2 Departamento de de Matem´tica Aplicada IV a C/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC E-08034 Barcelona

October 3, 2008

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e-mail: IGNACIO@MAT.UPC.ES e-mail: MATNRR@MAT.UPC.ES

Prefacio
Estos Apuntes de Ecuaciones Diferenciales constituyen una gu´ personal a la asignatura de Ecuaciones ıa Diferencialesque se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenier´ de Telecoıa ´ municacion (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ning´n momento pretenden ser una gu´ oficial, ni tan u ıa siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura. Debemos agradecer la colaboraci´n de muchos compa˜eros que han impartido esta asignatura y que, o n adem´s de hacermevaliosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque a somos conscientes de que todav´ pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradecıa ´ imiento a L.L. Andres Yebra, por permitirnos el uso y transcripci´n de sus apuntes sobre el tema de la o transformaci´n de Laplace. o

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Contents
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1 1.2Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Definiciones, interpretaci´n geom´trica y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . o e Ejemplos de aplicaciones f´ ısicas y matem´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1 1 1 1 3 3 4 4 5 6 8 9 9 9 10 11 13 13 13 16 18 18 18 18 18 19

Resoluci´n de ecuaciones de variables separables, lineales y homog´neas . . . . . . . . . . . . o e 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Ecuaciones integrables elementalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones homog´neas: cambio de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4Aplicaciones: familias de curvas, modelos matem´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelos de poblaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Desintegraci´n radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . .. . . . .

1.5

Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones 1.5.1 1.5.2 1.5.3

Presentaci´n del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dependencia continua de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6

M´todos num´ricos de resoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e o 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 Ideas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M´todo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e M´todo de Euler modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . e M´todo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

2 Ecuaciones Diferenciales (Lineales) de Orden Superior

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Ecuaciones Diferenciales.

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2.1 2.2

Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden...