Ecuaciones Diferenciales

Notas sobre ecuaciones diferenciales aut´nomas
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Consid´rese una ecuaci´n del tipo
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x′ = f (x)
donde la inc´gnita es una funci´n x(t). Este tipo de ecuaciones se llaman aut´nomas porque
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la funci´n f no depende de la variable independiente t. Observe que son ecuaciones de vao
riables separables. Existe un m´todo para resolverla, lo que no quiere decir que siempre se
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puedaresolver (es posible que las integrales que aparezcan no se puedan calcular). Por otro
lado, el hecho de que la ecuaci´n sea de variables separables implica que existe una unica
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soluci´n de la ecuaci´n que satisface x(t0 ) = x0 si f (x0 ) = 0.
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Por ejemplo la ecuaci´n x′ = λx para el crecimiento de una poblaci´n es una ecuaci´n de
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este tipo. En general las ecuaciones deevoluci´n son de este tipo. Intuitivamente, el hecho de
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que la f no dependa de t dice que una soluci´n de la ecuaci´n que en t0 valga x0 , tendr´ la
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a
misma evoluci´n que aquella que en el instante t1 vale x0 . Esta propiedad se expresa formalo
mente de la siguiente manera: si x(t) es la soluci´n que en t0 vale x0 , entonces x(t + T ) es la
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soluci´n que en t1 vale x0 , donde T = t0 −t1 . Gr´ficamente esto significa que una soluci´n se
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a
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obtiene corriendo la otra T unidades hacia la izquierda. Esta propiedad se demuestra usando
la unicidad de las soluciones de las ecuaciones en variables separables.
Otra manera de entender el significado de una ecuaci´n aut´noma es el siguiente: si x(t)
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es una soluci´n, entonces su derivada en el punto t depende solamente delvalor de la funci´n
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x(t) y no de t. Por lo tanto para saber si una soluci´n ser´ creciente en un determinado
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a
momento t, basta conocer el signo de la funci´n f en el valor x(t). As´ si f es positiva
o
ı,
en x, una soluci´n que valga x en alg´n instante ser´ creciente, sin importar cual sea ese
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u
a
instante. Adem´s, si la f vale 0 en un cierto valor a entonces una soluci´n que ent0 vale a
a
o
tendr´ derivada 0 en ese punto. Como adem´s no tiene “motivo” para aumentar o disminuir,
a
a
resulta que es constante. Es claro que esto se puede demostrar, y es muy f´cil: se define la
a
funci´n constante x(t) = a y se verifica inmediatamente que x(t) es soluci´n de la ecuaci´n
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′ = f (x) con condici´n inicial x(t ) = a; luego por la unicidad de soluciones seconcluye que
x
o
0
esta es la soluci´n. Esto nos conduce a la siguiente definici´n:
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o
Definici´n 1. Un punto x0 se llama punto de equilibrio de la ecuaci´n x′ = f (x) si f (x0 ) = 0.
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En este caso, la soluci´n que en alg´n instante t valga x0 , ser´ necesariamente constante igual
o
u
a
a x0 .
Si se tiene un modelo poblacional, el hecho de que x0 sea un punto de equilibrio significa
que,si la poblaci´n inicial es x0 , entonces se mantendr´ en este valor en el futuro. Cabe
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a
preguntarse qu´ sucede si en vez de valer exactamente x0 el valor inicial de la poblaci´n
e
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es cercano a x0 . Podr´ suceder que el modelo que se est´ considerando sufra una peque˜a
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a
n
alteraci´n en un cierto momento (por ejemplo una guerra, o una repentina inmigraci´n), y se
o
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quieresaber si despu´s de esta perturbaci´n la poblaci´n volver´ a estabilizarse en el valor
e
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a
1

x0 o si en cambio tomar´ otro rumbo completamente distinto. Planteamos as´ la siguiente
a
ı
definici´n:
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Definici´n 2. Un punto de equilibrio x0 es estable si existe un entorno de x0 tal que toda
o
soluci´n que en alg´n instante t caiga en ese entorno permanecer´ dentro de ´l en el futuroo
u
a
e
y tender´ a x0 cuando el tiempo t tiende a +∞. En caso contrario, el punto de equilibrio se
a
llamar´ inestable.
a
Ahora, ser´ bueno saber c´mo decidir si el punto de equilibrio es estable o no. Para esto
ıa
o
volvamos a la argumentaci´n de arriba: si la funci´n f es positiva en x toda soluci´n que en un
o
o
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cierto valor t sea igual a x tendr´ que ser creciente en el...