Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es la relación (igualdad) que hay entre una función y sus derivadas. Una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radioactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios,etc. No es exagerado afirmar que la naturaleza se describe por medio de ecuaciones diferenciales, de modo que un conocimiento de esta última materia nos ayudará a entender mejor los fenómenos naturales.
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales(física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:


Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] dela estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:



donde  es el tiempo y  es la coordenada del puntosobre la cuerda y  una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

En general, la solución de una ecuación diferencial de orden n dependerá de n parámetros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamétrica de soluciones de una E. D., unasencilla interpretación geométrica nos muestra que también la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solución de la E. D.
A continuación, nos dedicaremos a explicar los diversos métodos clásicos de resolución de E. D. No haremos hincapié en el intervalo de definición de las soluciones, ni efectuaremos un estudio detallado de la rigurosidad de los métodos empleados que, en esencia,descansan siempre en la regla de la cadena y los teoremas de la función inversa y de la función implícita. No nos detendremos nunca en comprobar las hipótesis de estos teoremas, sino que supondremos en todo momento que las funciones que aparecen en los métodos descritos son lo suficientemente buenas, o están lo suficientemente restringidas en su dominio, para que siempre se satisfagan las hipótesisnecesarias. Tampoco nos preocuparemos en exceso de saber si hemos obtenido todas las soluciones; a este respecto, en algunos casos nos interesaremos por las soluciones singulares de una E. D., como puede ser la envolvente de una familia de soluciones.
Nos apresuramos a señalar que las fórmulas generales que aparecen como solución de diversos tipos de ecuaciones no deben memorizarse; más bien, elprocedimiento debe desarrollarse completo cada vez. Para ello bastará recordar unos cuantos puntos esenciales que destacamos en las cajas de texto que hemos denominado recetas.
Por último, comentar que, en los ejemplos que nos aparecerán, el lector puede entretenerse en representar gráficamente las soluciones de las E. D. planteadas, al menos en los casos más sencillos o efectuando un simple bosquejo desu apariencia. No pensemos en esto como una pérdida de tiempo, pues ayuda a comprender la naturaleza del problema y de sus soluciones.


1. ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Siglos XVII y XVIII origen de las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII.
Newton...