Ecuaciones Diferenciales

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1.1 Introducción
1.2 Ecuaciones Lineales
1.3 Ecuaciones de Bernoulli
1.4 Ecuaciones separables
1.5 Ecuaciones Homogéneas
1.6 Ecuaciones exactas
1.7 Factor Integrante
1.8 Estabilidad dinámica del equilibrio
1.9 Aplicaciones

Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Encuentre soluciones generales y/o particulares de Ecuaciones Diferenciales deprimer orden
• Determine Estabilidad dinámica cuantitativa y/o cualitativamente
• Resuelva problemas de aplicaciones económicas

1.1 INTRODUCCIÓN

En ciertas ocasiones resolver un problema puede conducir a plantear
x2

una ecuación que contiene derivadas. Por ejemplo, suponga que

y = e

entonces

dy = 2 xe x 2
dx
x 2

; la razón de cambio relativa

y´sería
y

=
y´ 2xe
2

= 2x

, despejando tenemos

y´−2 xy = 0 . Esta última expresión

y e x
representa una ecuación diferencial.

1.1.1 Definición de Ecuación Diferencial

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial.

Ejemplo

y´−2 xy = 0

donde

y = f ( x)Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el caso del ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria.

Si la función desconocida depende de más de una variable se llama
Ecuación Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales.

Ejemplo

∂z + 2 xy ∂z = xz

donde

z = f ( x, y)

∂x ∂y

Aquí nos dedicaremos sólo al estudio de las EcuacionesDiferenciales
Ordinarias.

1.1.2 Orden de una ecuación diferencial

El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivada presente en la ecuación:

Ejemplos

1. dy − 2 xy = 0
dx

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden

d 2 y
2. dx 2

+ xy = y´

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden

d 4 y
3. dx4

d 2 y
+ 3 2
dx

= 2 Una EcuaciónDiferencial Ordinaria de Cuarto Orden

1.1.3 Grado de una ecuación diferencial

El grado de una Ecuación diferencial está dado por el exponente entero positivo de la más alta derivada presente en la ecuación.

Ejemplos

1. y´´+5( y´)3 − 4 y = x

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden y primer grado

2. (y´)2 − 2 xy = 0

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primerorden y segundo grado

1.1.4 Ecuaciones Lineales

Una Ecuación Diferencial es lineal si lo es en todas sus derivadas y también en su variable dependiente.

Ejemplos

dy

1. dx

+ 2 xy = 0

Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de primer orden

d 2 y
2. dx 2

+ x dy − y = 0
dx

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de Lineal de

Segundo Orden

Como ejemplos deEcuaciones Diferenciales no lineales, tenemos:

Ejemplos

1. y´´+5( y´)3 − 4 y = x
2. yy´−2x = 2
3. ( x + y)dx + ( x − y)dy = 0
y
4. y´− y = e
5. y´− y = cos y

Usualmente una Ecuación Diferencial Lineal Ordinaria se puede representar en forma polinómica de la siguiente manera:

[an ( x)]y

( n )

+ [an−1

( x)]y

( n−1)

+ + [a0 ( x)]y = g ( x)

1.1.5Solución de una Ecuación Diferencial

Se dice que una función

y = f ( x)

definida en un intervalo I , es

solución de una ecuación diferencial en el intervalo I , si sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una proposición verdadera; es decir, se convierte en una identidad.

Ejemplo

4
Determinar si la función y = f ( x) = x
16

1
es solución de la ecuacióny´− xy 2 = 0 .

SOLUCIÓN:

De y =

x 4

se obtiene

y´=

4x3 x3
=

16
Reemplazando resulta:

16 4

y´− xy1 / 2 = 0

=x 3

1 / 2
x 4
⎛ = ⎞

− x⎜

⎟ = 0

4 ⎝ 16 ⎠
x 3 ⎛ x 2 ⎞

− x⎜

⎟ = 0

4 ⎝ 4 ⎠
x
3 x 3
− = 0
4 4
0 = 0
Por tanto, la función si es solución de la Ecuación Diferencial.

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES...