Ecuaciones diferenciales

 
 
 
  ¿ Qué es una ecuación diferencial ?
 
 
 Definición  [Ecuación Diferencial]
 
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial sellama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es




Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a  como variabledependiente y a  como variable independiente se acostumbra expresar en la forma


(1.4)


para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden  de la forma




 
Ejemplo 
La ecuación  es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales




Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como yavimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.
 






 
 Definición  [ Orden de una ecuación diferencial]
 
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
 
De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguientecuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.
 
 
 Definición  [Ecuación Diferencial lineal]
 
Una ecuación diferencial ordinaria de orden  es lineal  si se puede escribir de la forma


(1.5)


donde los coeficientes  para  son funciones reales, con . Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. 

 
Algunas veces decimos que laecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones  son constantes para toda , en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función  es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.
 
Ejemplo La ecuación diferencial




es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje. La variable  representa el nivel de habilidad del individuo como una función del tiempo . Las constantes  y  dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo.
 
Ejemplo 
La ecuación




es de segundoorden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un resistor  y un capacitor , al cual se aplica una fuerza electromotriz .
 
Ejemplo  
La ecuación




es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea.
La ecuación




es de primer orden, no lineal y nohomogénea.
La ecuación




es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea.
El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo.
 




Ejemplo  
La ecuación




se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en  y de segundo orden en .
La ecuación




se conoce como la ecuación de Laplace y...