Ecuaciones diferenciales

APROXIMACIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL: un enfoque geométrico

Rafael ISAACS, Sonia SABOGAL

APROXIMACIÓN AL ÁLGEBRA LINEAL: un enfoque geométrico

Bucaramanga, 2005

A nuestros hijos, el mio, el tuyo y la nuestra.

Contenido
Presentación 1. Algo sobre inducción matemática y números complejos 1.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Demostraciones por inducciónmatemática . . . . . . . 1.3. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sumatoria y productoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Combinatoria y teorema del binomio . . . . . . . . . . 1.6. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Algo sobre dinámicas complejas . . . . . . . . . . . . . 2.Rn como espacio vectorial 2.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 2.2. Rn : el espacio donde viven las soluciones a sistemas de ecuaciones con n variables . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Combinaciones lineales e independencia lineal . . . . . 2.4. Planos y rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1 1 4 10 13 18 22 25 31 37 37 48 55 63 63 63

2.4.1.Ecuaciones paramétricas y cartesianas . . . . . 2.4.2. Rectas que contienen el origen . . . . . . . . . .

ii

Contenido 2.4.3. Rectas trasladadas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Planos que contienen el origen . . . . . . . . . . 2.4.5. Planos trasladados . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Subespacios vectoriales y subespacios afines de Rn . . 64 66 66 70 75 75 80 88 94 94 95 98

3.Transformaciones lineales y matrices 3.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Representación de transformaciones lineales por medio de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. El núcleo y la imagen de una transformación lineal . . 3.4. Álgebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Suma y producto por escalar . . . . . . . . . . 3.4.2.Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4. Rn como espacio vectorial euclídeo 109

4.1. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2. Longitudes, ángulos, distancias y proyecciones . . . . . 112 4.3. Producto cruz . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 120 4.4. Similitudes e isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5. La función determinante 127

5.1. Áreas y volúmenes orientados . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2. Axiomas del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.3. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.4. Inversa por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Respuestas a los ejercicios Lecturas recomendadas 149 163

Presentación
Por sus múltiples aplicaciones, el estudio del álgebra lineal en los programas universitarios cobra cada día más importancia. Esta rama de las matemáticas se ocupa de ciertas estructuras llamadas espacios lineales o vectoriales, e investiga de qué manera ellos se interrelacionan mediante las llamadas transformaciones lineales;comprende además el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y de las matrices. Los espacios vectoriales y las transformaciones lineales se pueden ubicar como temas capitales del álgebra moderna, y su teoría es extensamente usada en el análisis funcional, en el análisis vectorial y en las ecuaciones diferenciales, entre otros; por ejemplo, en el cálculo es importante para las derivadas deorden superior. Sus numerosas aplicaciones no se restringen al campo de las matemáticas, sino que se extienden también al campo de las ciencias naturales y de las ciencias sociales. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a mediados del siglo XIX con los trabajos de William Hamilton, de quien proviene el uso del término “vector”. Sin embargo, solamente en la segunda mitad del siglo XX el...