Ecuaciones diferenciales
Páginas: 2 (276 palabras)
Publicado: 26 de agosto de 2012
MOVIMIENTO FORZADO
Con amortiguamiento y con una fuerza externa que actúa sobre una masa oscilante sujeta a un resorte, como por ejemplo una fuerza impulsadota f(t), al formularla Segunda Ley de Newton se obtiene la ecuación que describe el movimiento forzado.
O también
Esta ùltima ecuación no homogènea puede resolverse indistintamente por el métodode coeficientes indeterminados o por el mètodo de variación de parámetros.
Sin amortiguamiento y con una fuerza externa que es periòdica y tiene la forma
La ecuacióndiferencial que describe el movimiento es
donde
Se presentan dos posibilidades.
1.
La solución tiene la forma
que es la suma de dos funciones.2.
Este caso se conoce como resonancia y la ecuación diferencial del movimiento si la masa es m es
La solución es del tipo
La suma de los primeros términos es unafunción periódica, sin embargo el tercer término representa una solución con amplitud creciente, lo que da oscilaciones no acotadas. Este fenómeno se llama resonancia pura.Términos transitorios y estacionarios
Cuando f es una función periódica como
la solución de la ecuación
consiste en
Ejemplo 1
Interpretar y graficar
Solución:
Como sepuede apreciar en la figura el efecto del término transitorio es insignificante.
Ejemplo 2
Un resorte se estira 20 cm por efecto de una fuerza de 8000 dinas. Una masa de 4 gramosse suspende del resorte. Luego se aplica una fuerza dada de f (t)=60cosyt,-----------------. Asumiendo que el amortiguamiento es despreciable, encontrar la posición de la masa encualquier tiempo y los valores para los cuales ocurrirá la resonancia.
Solución
La ecuación que describe el movimiento es
Se aplica el método de coeficientes indeterminados
Con amortiguamiento y con una fuerza externa que actúa sobre una masa oscilante sujeta a un resorte, como por ejemplo una fuerza impulsadota f(t), al formularla Segunda Ley de Newton se obtiene la ecuación que describe el movimiento forzado.
O también
Esta ùltima ecuación no homogènea puede resolverse indistintamente por el métodode coeficientes indeterminados o por el mètodo de variación de parámetros.
Sin amortiguamiento y con una fuerza externa que es periòdica y tiene la forma
La ecuacióndiferencial que describe el movimiento es
donde
Se presentan dos posibilidades.
1.
La solución tiene la forma
que es la suma de dos funciones.2.
Este caso se conoce como resonancia y la ecuación diferencial del movimiento si la masa es m es
La solución es del tipo
La suma de los primeros términos es unafunción periódica, sin embargo el tercer término representa una solución con amplitud creciente, lo que da oscilaciones no acotadas. Este fenómeno se llama resonancia pura.Términos transitorios y estacionarios
Cuando f es una función periódica como
la solución de la ecuación
consiste en
Ejemplo 1
Interpretar y graficar
Solución:
Como sepuede apreciar en la figura el efecto del término transitorio es insignificante.
Ejemplo 2
Un resorte se estira 20 cm por efecto de una fuerza de 8000 dinas. Una masa de 4 gramosse suspende del resorte. Luego se aplica una fuerza dada de f (t)=60cosyt,-----------------. Asumiendo que el amortiguamiento es despreciable, encontrar la posición de la masa encualquier tiempo y los valores para los cuales ocurrirá la resonancia.
Solución
La ecuación que describe el movimiento es
Se aplica el método de coeficientes indeterminados
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