ecuaciones diferenciales

UCSC
Facultad de Ingenier´
ıa
Dpto. Matem´tica y F´
a
ısica Aplicadas

Listado 1 de Ecuaciones Diferenciales
(IN 1008C )
1. Verifique si las funciones son soluciones de las ecuacionescorrespondientes.
a) xy = 1 para

dx
y
=− .
dy
x

b) y = 1 + e− 2 x para y ′ + xy = x.
1 2

c) x3 y + x2 y + y 2 = 3 para (3x2 + 2xy)dx + (x3 + x2 + 2y)dy = 0.
d ) x sen(xy)+ey −1 = 0 para (xycos(xy)+sen(xy))dx+(x2 cos(xy)+sen(xy)+ey )dy = 0.
C + 2x3
dy
= y 2 + y − 2. Encuentre,
, C: constante, es soluci´n general la ecuaci´n x
o
o
C − x3
dx
si existe, la soluci´n sujeta a lacondici´n inicial dada
o
o

2. Si y =

a) y(1)=4.

b) y(1)=1.

c) y(0)=3.

d ) y(1)=2.

3. Determine los valores de m ∈ IR para los cuales la funci´n ϕ(x) = emx sea soluci´n de la
o
oecuaci´n dada.
o
a)

d2 y
dy
+ 5y = 0.
+6
dx2
dx

b)

d3 y
d2 y
dy
= 0.
+3 2 +2
dx3
dx
dx

4. Discuta la existencia y unicidad de la soluci´n de los siguientes Problemas de Valorinicial
o
(PVI) y encuentre las soluciones, si es que existen, de cada PVI.


a) I)



b) I)




√
√
 dy
 dy
= x y−3
= x y−3
II) dx
III) dx
 y(0) = 1.
 y(−1) = 4.
dx
 dx + cot(t)x = sen(t) cos(t)
+ cot(t)x = sen(t) cos(t)
II)
dt
dt
 x(− π )
x(0)
= 2.
= −2.
2
3
√
dy
= x y−3
dx
y(1) = 3.

5. Considere la ecuaci´n y ′ =
o

x − y2
.
y−1a) Encuentre, sin resolver la ecuaci´n, los puntos donde sus soluciones puede tener m´xio
a
mos o m´
ınimos, donde puede ser creciente y donde puede ser decreciente.

b) Encuentre la ecuaci´ncorrespondiente a las isoclinas y grafique aquellas, donde la
o
pendiente es 1, −1 y 2.
c) Con la infomaci´n obtenida, grafique el campo direccional.
o
d ) Trace la curva soluci´n que pasa por elpunto (0, 2).
o
6. Bosqueje el campo de direcciones de las siguientes ecuaciones
a) y ′ = y.
b) y ′ =

c) y ′ =

x−y
.
x

xy + 3x − y − 3
.
xy − 2x + 4y − 8

d ) y ′ = y 2 − 6y + 5....