Ecuaciones diferenciales

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

A Francisco José, Sheryl, Marión, Paola, Constance, Luis Miguel y Miguel.

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AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pedro Rangel por su comprensión, confianza y apoyo, a los bachilleres Daniel Ruiz, Pascual De Ruvo y Priscilla Mendoza sin cuyo esfuerzo y dedicación no hubiese podido realizar este texto y a todoslos profesionales y bachilleres que laboran en el Centro de Tecnologías de la Universidad Nueva Esparta, Sede los Naranjos, por estar siempre dispuestos a colaborar.

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PREFACIO Este trabajo esta diseñado para facilitar el estudio de las “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado” a los estudiantes de matemáticas en las escuelas de computación e ingeniería de laUniversidad Nueva Esparta. A los efectos de lograr el objetivo, se ha tratado de presentar cada uno de los casos en forma sencilla, evitando el uso riguroso del cálculo, introduciendo artificios sencillos, fáciles de comprender y aplicar sin menoscabar la profundidad del tema. A la presentación teórico práctica del objeto de estudio le sucede un problemario que presenta los ejercicios resueltos en trespartes de manera que el estudiante vaya logrando etapas en la medida que avanza en la resolución del ejercicio. Este trabajo constituye una recopilación de información que pretende orientar y estimular a todo estudiante del tercer curso de matemática a fin de permitirle adquirir la destreza necesaria en el manejo de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado.

4ÍNDICE

Pág. Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Separables Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Ecuaciones Diferenciales Con Coeficientes Lineales Ecuaciones Diferenciales Exactas Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas Ecuaciones Diferenciales Lineales Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Ecuaciones Diferenciales de Ricatti Ejercicios de Ecuaciones DiferencialesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Separables Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Con Coeficientes Lineales Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Ejercicios de EcuacionesDiferenciales de Ricatti Bibliografía 6 8 12 21 25 31 35 40 45 50 51 58 67 71 81 97 105 117 126

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación se llama diferencial porque contiene una o más derivadas ó diferenciales. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En este trabajo se estudiarán las Ecuaciones diferenciales Ordinarias, que son aquellas que contienen una o más derivadas de unafunción de una sola variable independiente. Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por el orden y el grado. El orden de una ecuación diferencial es el de la mayor derivada involucrada en la expresión y el grado el de la potencia de la derivada de mayor orden. Este estudio se centrará en las ecuaciones diferenciales ordinarias de Primer Orden y Primer Grado, es decir ecuaciones quecontienen funciones que se han derivado una sola vez, con respecto a una variable independiente y dicha derivada está elevada a la potencia uno. Ejemplos:

a)

∂y x − y = ∂x x + y
y ∂y − y − xsen = 0 x ∂x

b) x

En las funciones de ambos ejercicios se derivó la variable " y " con respecto a la variable " x " una sola vez unidad.
∂y ∂x

y esa derivada está elevada a la potencia

6Si en el ejercicio " b " se despeja

∂y , la ecuación queda como sigue: ∂x

b)

y ∂y y = + sen x ∂x x

En general suele expresarse una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado de la siguiente manera:
∂y = f ( x. y ) ⇒ y`= f ( x. y ) ∂x

1)

2) M ( x. y )dx + N ( x. y )dy = 0 La primera ecuación está dada en forma explícita, es decir se expresa claramente que...