ecuaciones diferenciales

Introducci´n a las ecuaciones
o
diferenciales ordinarias
Noem´ Wolanski
ı

α/β

γ/δ
Diagrama de fases para dos poblaciones simbi´ticas
o

´
Indice General
Preliminares

5

Cap´
ıtulo 1. Introducci´n
o
1. Generalidades.
2. Descripci´n de algunos m´todos de resoluci´n de ecuaciones de 1er. orden.
o
e
o
Ejercicios

7
7
10
12

Cap´
ıtulo 2. Existencia y unicidad desoluci´n
o
Ejercicios

15
22

Cap´
ıtulo 3. Sistemas lineales de 1er. orden y ecuaciones lineales de orden n
1. Generalidades y sistemas homog´neos
e
2. Sistemas no homog´neos
e

23
23
29

Cap´
ıtulo 4. Resoluci´n de sistemas lineales con coeficientes constantes
o
Ejercicios

33
45

Cap´
ıtulo 5. Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes
Ejercicios

4752

Cap´
ıtulo 6. Comportamiento asint´tico de las soluciones
o
1. Diagramas de fases
2. Diagramas de fases de sistemas lineales a coeficientes constantes
3. Linearizaci´n
o
4. Sistemas Conservativos
Ejercicios

55
56
60
68
74
79

Agradecimientos

81

Bibliograf´
ıa

83

3

Preliminares
El objetivo de estas notas es dar una introducci´n al tema de EcuacionesDiferenciales
o
Ordinarias (en adelante ODE) a nivel elemental. Las notas est´n dirigidas a estudiantes de
a
la materia An´lisis II – Matem´tica 3 de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la
a
a
Universidad de Buenos Aires. Al dise˜ar estas notas debemos tener en cuenta que en esta
n
materia el tema de ODE se dicta en no m´s de 5 semanas. Es por esta raz´n que ciertos
a
o
temas sedejan para desarrollar en los trabajos pr´cticos. Entre esos temas est´n los m´todos
a
a
e
de resoluci´n de ecuaciones de primer orden y muchos ejemplos de aplicaciones que est´n como
o
a
ejercicio para los alumnos.
En estas notas discutiremos algunos problemas en los cuales aparecen ODE, daremos la
demostraci´n del Teorema de Existencia y Unicidad local de soluci´n y analizaremos eldominio
o
o
de definici´n de las mismas. A fin de dar claridad al texto, daremos las demostraciones bajo
o
condiciones simples.
Se dar´n los m´todos de resoluci´n de ecuaciones y sistemas lineales a coeficientes constantes
a
e
o
(tanto homog´neos como no homog´neos).
e
e
Por otro lado, se discutir´ la noci´n de diagrama de fases y su relaci´n con la posibilidad
a
o
o
de predicci´n delcomportamiento de las soluciones sin conocer una f´rmula an´litica de las
o
o
a
mismas. Se ver´ c´mo son los diagramas de fases de sistemas lineales a coeficientes constantes
a o
de dimensi´n 2 y tambi´n para sistemas no lineales conservativos. Se discutir´ la noci´n de
o
e
a
o
estabilidad lineal y se utilizar´ para determinar la estabilidad de equilibrios de sistemas no
a
lineales dedimensi´n 2.
o

5

CAP´
ıTULO 1

Introducci´n
o
1. Generalidades.
Sea V (t, x, y, z) un campo de velocidades correspondiente a un fluido (por ejemplo). En el
curso ya vimos que una part´
ıcula que se mueve en el fluido sigue una trayectoria σ(t) tal que su
vector velocidad, σ (t), verifica σ (t) = V (t, σ(t)) para todo tiempo t.
Esto es un sistema de ecuaciones diferenciales de 1er.orden. A saber, si σ(t) = (x(t), y(t), z(t))
se debe tener para todo t,

 x = V1 (t, x, y, z),

y = V2 (t, x, y, z),
(1.1)


z = V3 (t, x, y, z).
Claramente, para determinar la posici´n de una part´
o
ıcula en un instante t debemos conocer
tambi´n su posici´n en alg´n instante t0 ya que en un instante dado habr´ part´
e
o
u
a
ıculas en diferentes
puntos y por lo tanto sustrayectorias no son iguales.
De modo que lo que nos plantearemos ser´ encontrar una soluci´n de (1.1) sujeta a que
a
o
σ(t0 ) = X0 donde t0 ∈ R y X0 ∈ R3 son dados.
Por ejemplo, en una variable podr´
ıamos intentar resolver el problema
x = x,
x(0) = 1.
Tenemos

x
x (t)
d
= 1, pero
=
log x(t). Por lo tanto, lo que queremos es que
x
x(t)
dt
d
log x(t) = 1
dt

para todo t....