ecuaciones diferenciales

Sesión No. 6
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con
capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm ().
La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff
establece:

pero I(t)=dQ/dt, asítenemos que:

Suponga que la resistencia es de 5, la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V
y que la carga inicial es de Q(0)=0C.
Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
Considere ahora que:
R=2 , C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t−
Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

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Sesión No. 7
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
• Laley de Newton del enfriamiento, dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la
temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura
constante T0 del medio que lo rodea.
Al sacar un biscuit del horno, su temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF.
¿Cuánto demorará en enfriarse hasta unatemperatura ambiente de 70 ºF?

2da. Ley de Newton

Despejamos T

Datos para conocer K
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=constante=

t=3 min
T=100=dif de temperatura
Ta=70 ºF=Temp. Ambiente
T0=300=Temp. en un tiempo t=0
FÓRMULA

sustituimos k para encontrar t

Sesión No. 8
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
• Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existenteen cada
momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material se observó que después de 3 hr, solamente el
80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar:
• La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.
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Sea y la cantidad de material radiactivo

para t=0, y=60
c=60
para t=3, y=60(0.8)=48
sustituyendo
en
solución
presente en cualquier tiempo t.
•¿Qué cantidad permanece cuando t=5 hr?

• ¿Para que valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial?
Para
tenemos

aplicando la ley de ln

• Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial V0=3 m/seg. El
cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar:
• La ecuación del movimiento

y como

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es decirEs una ecuación lineal de primer orden.

para m=2

• La velocidad en un tiempo t=20 seg.

• El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su máxima altura.

es igual

Sesión No. 9
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
• Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el
humo, con un contenido de 4.5% de monóxido decarbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y
se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar:
• Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

y la ecuación es

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, es decir,
ec. Lineal no homogénea.

con solución general

para t=0, c=0 entonces
, con solución particular.

• La concentración de monóxido de carbono a bajosniveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para
los seres humanos.
Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.
Para c=0.00012 tenemos
De donde t=81.11 min.
t=1 hr 21 min.
Sesión No. 10
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
• Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo.
Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar elmovimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza
metros.
Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando esta en reposo y sea x el
desplazamiento de la masa en un tiempo t.
El alargamiento del resorte es (x−y) entonces.

,
por lo tanto
de donde
, la solución de la E homogénea es

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calculando,
xp por el met. de coeficientes...