ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales I

Artemio Gonz´lez L´pez
a
o

Madrid, enero de 2004

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Indice general
1 Introducci´n
o
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 T´cnicas elementales de integraci´n . . . . . . . .
e
o
1.2.1 y ′ = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ecuaciones con variables separadas . . . .
1.2.3 Ecuaciones homog´neas . . . . . . . . ..
e
1.2.4 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Ecuaci´n de Bernoulli . . . . . . . . . . .
o
1.2.6 Ecuaci´n de Riccati . . . . . . . . . . . .
o
1.2.7 Ecuaciones exactas y factores integrantes
1.3 Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . .
1.3.1 Funciones lipschitzianas . . . . . . . . . .

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1
2
2
3
6
7
9
10
12
16
19

2 Ecuaciones y sistemas lineales
2.1Estructura del espacio de soluciones . . . . . . . . . .
2.2 Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 F´rmula de Abel–Liouville . . . . . . . . . . .
o
2.2.2 M´todo de variaci´n de constantes de Lagrange
e
o
2.3 Sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . .
2.4 C´lculo de la exponencial de una matriz . . . . . . . .
a
2.4.1 Polinomio interpolador de Lagrange .. . . . .
2.5 Ecuaciones de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . .
2.6.1 Soluci´n de la ecuaci´n inhomog´nea . . . . . .
o
o
e
2.7 Estabilidad de sistemas y ecuaciones lineales . . . . . .
2.7.1 Criterio de Routh–Hurwitz . . . . . . . . . . .

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57
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65
66
71
78
85
93

3 Soluciones en forma de serie
3.1 Puntos regulares . . . . . . . .
3.1.1 Funciones anal´
ıticas . .
3.1.2 La ecuaci´n de Hermite
o
3.2 Puntos singulares regulares . .
3.2.1 La ecuaci´n de Bessel .
o
3.2.2 El punto del infinito . .

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INDICE GENERAL

4 Sistemas din´micos en el plano
a
4.1 Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sistemas din´micos lineales en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.3 Sistemas din´micos no lineales en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

ii
97
97
103
107

Cap´ıtulo 1

Introducci´n
o
1.1

Preliminares

• En general, una ecuaci´n diferencial es una expresi´n que relaciona el valor de una
o
o
funci´n (o funciones) inc´gnita(s) en cada punto con el de sus derivadas parciales en el
o
o
mismo punto. Por ejemplo, la expresi´n
o
∂u
∂u
(x, y) +
(x, y) = 0
∂x
∂y

(1.1)

es una ecuaci´n diferencial. Las soluciones de la ecuaci´n...