ecuaciones diferenciales

Matemáticas III
Guías 1 − 6

Farith Briceño - 2014

Indice

1 Definiciones Básicas.

3

2 E.D.O. : Variables separables.

11

3 E.D.O. : Coeficientes homogéneos.

15

4 E.D.O. : Exactas.

19

5 E.D.O. : Ecuaciones lineales.

25

6 Aplicaciones de E.D.O.

31

Última actualizacón: Enero 2014

Farith J. Briceño N.

farith.math@gmail.com

Matemática III - Guía 1Definiciones Básicas.
Objetivos a cubrir

Código : MAT-3.1

• Clasificación de una ecuación diferencial.
• Solución de una ecuación diferencial ordinaria.
• Existencia y unicidad de la solución.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1 : Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (9, 4) y cuya pendiente
√
en cada punto es 3 x.
Solución : Es conocido que la pendientede la recta tangente en un punto cualquiera x es mtan = f ′ (x),
por lo tanto,
√
f ′ (x) = 3 x
para obtener f integramos respecto a x,
√
3 x dx

f ′ (x) dx =

f (x) = 2x3/2 + C,

=⇒

puesto que la función f pasa por el punto (9, 4) se tiene que
3/2

4 = f (9) = 2 (9)

+C

4 = 2 32

=⇒

3/2

+C

=⇒

2 = 27 + C

=⇒

−25 = C,

luego,
f (x) = 2x3/2 − 25.

⋆d2 y
= 4 − x2 y una ecuación de la recta
dx2
tangente a la curva en el punto (1, −1) es 2x − 3y = 3. Encontrar una ecuación de la curva.
Ejemplo 2 : En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene
Solución : Tenemos que
d2 y
dx =
dx2

4 − x2

dx

dy
x3
= 4x −
+ C1 ,
dx
3

=⇒

del hecho que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, −1) es 2x − 3y = 3, setiene que
2
f ′ (1) = , por lo tanto,
3
3

2
(1)
= f ′ (1) = 4 (1) −
+ C1
3
3
entonces,

=⇒

2
1
= 4 − + C1
3
3

=⇒

C1 = −3

dy
x3
= 4x −
− 3,
dx
3

integramos nuevamente
dy
dx =
dx

4x −

x3
−3
3

dx

=⇒

−1 = 2 −

y = 2x2 −

=⇒

x4
− 3x + C2 ,
12

la curva pasa por el punto (1, −1) así,
−1 = 2 (1) −

(1)4
− 3 (1) + C2
12

luego
y =2x2 −

1
− 3 + C2
12

=⇒

C2 =

1
,
12

x4
1
− 3x + .
12
12
⋆

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Matemática III - Guía 1.

Definiciones Básicas.

4

Ejemplo 3 : Se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 128
p/seg. Si la única fuerza considerada es la que se le atribuye a laaceleración de la gravedad, encontrar que tan
alto llegará la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo. Encontrar también cuanto tiempo tomará a la
piedra llegar al suelo.
Solución : La dirección positiva se toma hacia arriba. Sea
• t : el tiempo, en segundos, que ha transcurrido desde que se lanzó la piedra.
• s : la distancia, en pies, de la piedra al suelo a los t seg de tiempo.• υ : la velocidad, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo.
• |υ| : el número de pies por segundo en la rapidez, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo.
La piedra estará en su punto más alto cuando la velocidad sea cero. Sea s el valor particular de s cuando
υ = 0. Cuando la piedra toca el suelo, s = 0. Sean t y υ los valores particulares de t, υ cuando s =0 y
t = 0.
La dirección positiva de la piedra desde el punto de partida se toma hacia arriba. Como la única aceleración
se debe a la gravedad que actúa en dirección hacia abajo, la aceleración tiene un valor constante de −32 p/seg2.
Es conocido que la aceleración a es la primera derivada de υ con respecto a t y la segunda derivada de
s con respecto a t, es decir
dυ
d2 s
a=
= 2 = −32
dtdt
integramos respecto a t
dυ
dt =
dt

d2 s
dt =
dt2

−32 dt

=⇒

υ (t) =

ds
= −32t + C1
dt

como υ = 128 cuando t = 0, tenemos
128 = υ (0) = −32 (0) + C1
por lo tanto,

=⇒

C1 = 128,

ds
= −32t + 128
dt

integramos, nuevamente, respecto a t
ds
dt =
dt

(−32t + 128) dt

s (t) = −16t2 + 128t + C2 ,

=⇒

como s = 0 cuando t = 0, tenemos
0 = s (0) = −16...