ecuaciones diferenciales

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ECUACION DIFERENCIAL DE RICATTI
Una ecuación diferencial de la forma
(

)

(

)

(

)

recibe el nombre de ecuación diferencial de RICCATI. Esta ecuación
diferencial no se puederesolver por los métodos convencionales, sin
( ), el cambio de
embargo si se conoce una solución particular
( )
variable
transforma la ecuación dada en una ecuación que
se puede resolver confacilidad.
PRIMERA SOLUCION Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación
de BERNOULLI par luego resolverla. Esta transformación se consigue
mediante la sustitución.
Si

entonces

( )

,reemplazando en la ecuación

( )

de riccati, se tiene:
( )

( )( ( )

)

( )( ( )

)

(

( )

)

)

Realizando operaciones
( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )(

( )

()

( )

( )

( ) ( )

( )
( )

( )

Agrupando términos,
( )
(

( )

( ) ( )
( ) ( )

Pero como

( )

( )
( )

( )
( ))

( )

( ) ( )
( )

(

( )
( ) ( )

( )( ))

( )
(

( )

( ) ( )

( )

( )

( ))

Luego, la ecuación se reduce a:
ESP. DANIEL SAENZ C

Página 1

2

( )

( ) ( )

( ( )

( )

( ) ( ))

( )

La cualcorresponde a una ecuación de Bernoulli,
EJEMPLO. Resolver la ecuación diferencial.

Reescribimos la ecuación como:

La cual tiene la forma
(
Donde

( )

)

( )

(
(

)

(

)

)Es fácil comprobar que una solución de la ecuación diferencial es
Ya que

, con lo que

Haciendo el cambio de variable,

se tiene que

De donde
(

)
(

ESP. DANIEL SAENZ C

(

)
)Página 2

3

(

)

(
(
La cual tiene la forma

)
)

( )

que corresponde a una ecuación

( )

diferencial de Bernoulli, con n = 2

Multiplicando por

, se tiene que
(

)Haciendo,

, reemplazando se llega a:
(

)

(

)

La cual corresponde a una ecuación lineal de la forma
donde

( )

( )

( )

( )

.

Buscamos el factor integrante, para...