ecuaciones diferenciales



1.-ECUACION DIFERENCIAL LINEAL.
Ecuaciones diferenciales lineales
Llamaremos ecuación diferencial lineal de orden n a cualquier ecuación de la forma



Si la ecuación lineal se llama homogénea y si se llama completa.
Dada una ecuación diferencial lineal completa de orden n:



Con b(x) 6=0, a la que en adelante nos referiremos por (ELC), llamaremos ecuación lineal homogéneaasociada a la ecuación


A la que en adelante nos referiremos por (ELH).

Las ecuaciones diferenciales de la forma



Son conocidas como ecuaciones diferenciales lineales de orden uno y dos respectivamente. El término lineal proviene del hecho de poder mirar la primera derivada, la segunda derivada y la multiplicación de por una función como operadores lineales.
Para resolver la primeraecuación de (1.3.1) tenemos en cuenta que



De (1.3.2) y la primera ecuación de (1.3.1) se obtiene



De (1.3.3) obtenemos que la solución de la ecuación diferencial lineal de orden uno es:

































2.-TEOREMA DE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD

Si son funciones continuas en un intervalo y
Para todo entonces para cada x0 c I e(y0; y0… y(n ¡1) 0) c Rn
El problema de cauchy:



Tiene una única solución:

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos elexperimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?
2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?
3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?
Enésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.
 
Ejemplo:
Dado el problema de valor inicial




No resulta difícil comprobar que es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que




Y usando la condición inicial obtenemos que, con lo cual la solución sería. Observeque al resolver la ecuación diferencial dividimos por lo cual supone que, pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.

3.-ED HOMOGENEA Y PRINCIPIO DE SUPERPOCICION.El principio de superposición (también conocido como el teorema de superposición) es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de manera que el problema original se obtiene como suma o "superposición" de esto subproblemas más fáciles.
El principio de superposición dice que cuando las ecuaciones de comportamiento que existen en unproblema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, se puede obtener como la suma de los efectos de A más los efectos de B.
En el siguiente teorema veremos que la suma o superposición de dos o más soluciones de una ecuacióndiferencial lineal homogénea también es una
Solución.
Principio de superposición, ecuaciones homogéneas


Sean soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n donde x está en un intervalo I. La combinación lineal



En donde las son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en el intervalo.

DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso. Sea L el operador diferencial...