Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Parciales
En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una
relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,...y las derivadas parciales de u
respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación
matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estardistribuidos en el espacio y el tiempo.
Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica
de fluidos, la elasticidad, la mecánicacuántica y muchos otros. por ejemplo
Ecuaciones de tipo Hiperbólico - problemas que refieren fenómenos oscilatorios: vibraciones de cuerda,
membranas, oscilaciones electromagnéticas.
Ecuaciones de tipoParabólico - problemas que se presentan al estudiar los procesos de conductibilidad
térmica y difusión.
Ecuaciones de tipo Elíptico - problemas que aparecen al estudiar procesos estacionarios, o seaque no
cambian con el tiempo.
Una ejemplo de ecuaciones en derivadas parciales muy simple puede ser:

∂u ∂u
u(x, y) =
+
=0
∂x ∂y
∂u(x, y, z)
∂v(x, y, z)
∂w(x, y, z)
x
+y
+z
=0
∂x
∂y
∂zAl igual que las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican en función al orden, grado y linealidad. El
orden lo determina el mayor grado de la derivada parcial, ejemplos del orden de unaE.D.P.

Nota - También se utilizan las notaciones

Solución de una EDP
Sea la EDP definida de orden m, se llama solución de dicha EDP en cierta región D de variación de las xi,
∀i = 1, 2, · · · ,n a una función cualquiera u = u(x1, x2, . . . , xn) ∈ Cm(D) (conjunto de funciones continuas
en la regio ́n D junto con todas las derivadas de hasta orden m inclusive), tal que al sustituir u, ysus
derivadas la última se convierte en la identidad respecto a xi, ∀i = 1, 2,··, n en la región D. En definitiva dada
una EDP de orden n, una solución que contenga n funciones arbitrarias se...