ecuaciones diferenciales

Clasificaciones y aplicaciones de ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.
Clasificación por tipo si una ecuación contiene solo derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinara por ejemplo:

Una ecuación con derivadas parcialesde una o más variables dependiente de dos o más variables independientes se llama ecuaciones diferenciales parciales.
Clasificación según su orden. El orden de una ecuación diferencial sea EDO o EDP el orden de la derivada mayor en la ecuación por ejemplo:

Clasificación por linealidad. Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si f es lineal en y,y1,…,yn. Estosignifica que una EDO de orden n es lineal cuando.

Hay dos propiedades para decidir si una ecuación lineal
La variable dependiente y y todas sus derivadas de yI, y”, …,yn son de primer grado, es decir, la potencia de cada termino en que interviene y es 1.
Los coeficientes de a0, a1,…,an de y, yI,…, yn dependen solo de la variable dependiente.
La ecuaciones diferenciales pueden ser aplicadas amucho ámbitos de la ciencia como lo puede ser: ingeniería encomia entre otras ya que nos ayuda a resolver problemas reales a través de la resolución de ecuaciones diferenciales utilizando diversos teoremas como los de Newton, el drenado de un tanque entre otros como los que se vieron en el trabajo de investigación de “modelos matemáticos con ED”.

Teorema de Existencia y Unicidad
El teorema deexistencia y unicidad es una extensión del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una solución para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuación diferencial y la solución obtenida, es de hecho, una solución única.
Imagina una función valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un rectángulo definido por la ecuación,

Ahora supongamos que el diferencialparcial de la función real dada con respecto a la variable q también tiene un valor continuo de este rectángulo. Entonces puede concluirse que para la función dada tenemos algún intervalo I donde la función dada tiene una solución cuyo valor es único dentro de ese intervalo. Aquí el pre-requisito inicial definido para la función es,
q’ = f(p, q) y, q(p0) = q0
Y la ecuación definiendo el intervalo dela función es,

Aquí el valor de h debería ser menor o igual que a.
Para demostrar el teorema establecido arriba, pretendemos elegir el método de demostración por contradicción. Esto significa que vamos a suponer que las afirmaciones anteriores son verdaderas. También significa que existe una solución para la función dada; asume que la solución es una función q(p). Esto significa quetenemos,
q(p) = q0 + f(t, q(t) dt
Esto es porque si q(p) es una ecuación funcional para la ecuación diferencial dada, entonces podemos concluir que esta es una solución a esa ecuación diferencial. Por lo tanto, también podemos escribir,
q’ = f(p, q) y, q(p0) = q0
Las aproximaciones sucesivas, también famosas por el nombre de su inventor, este es, el método de iteración de Picard, esta es unatécnica utilizada para determinar esta ecuación de la función para una ecuación diferencial. Los pasos para determinarla son los siguientes:
1. Sea q(p0) = q0 el pre-requisito inicial para la ecuación diferencial dada. Supongamos que esta es cierta para cada valor de p.
2. Ahora usa la fórmula intermitente para determinar el valor de qn como,

3. Utilizando el método de inducción, una secuenciacompleta de las funciones puede generarse. Usando estas funciones y los pre-requisitos iniciales podemos obtener la solución al problema dado.
Finalmente, veamos un ejemplo ilustrativo para aclarar el concepto.
Resuelve la ecuación diferencial q’ = 2 p (1 + q) dado queq(0) = 0.
La ecuación asociada de la integración para la ecuación diferencial dada sería, g(p) = 2 s (1 + q(s)) ds A sume...