Ecuaciones diferenciales

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

Coordinaci´n de Matem´tica 3 (MAT023)
o
a
1er Semestre de 2010
Certamen 2 - Pauta: Viernes 7 de Mayo

1.Resolver la ecuaci´n
o
x2 y − 3xy + 4y = x2 ln(x)

Soluci´n:
o
Haciendo el cambio x = et la ecuaci´n queda:
o
y − 4y + 4y = t e2t
Donde y = y (t) es una funci´n de t .
o
Ecuaci´n homogenea:
oy − 4y + 4y = 0

Ecuaci´n caracteristica de la homogenea:
o

m2 − 4m + 4 = 0

⇒

m=2

Luego y1 = e2t , y2 = t e2t son dos soluciones linealmente independientes de la homogenea.
Variaci´nde Parametros:
o
Wronquiano:
W (y1 , y2 ) =

e2t
2 e2t

t e2t
e +2t e 2t
2t

= e4t

Por otra parte:

v1 = −

v2 =

t e2t t e2t
dt = −
e4t
e2t t e2t
=
e4t

t dt =

t2 dt = −t3
3

t2
2

Luego una soluci´n particular de la no homogenea es:
o
yp (t) = −

t3 2t t2 2t
t3 e 2t
e + te =
3
2
6

Soluci´n general:
o
y (t) = e2t (A + Bt) +

t3 e2t
6

y(x) = x2 (A + B ln(x)) +

MAT023

x2 (ln(x))3
6

1

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

2. Hallar la soluci´n general de la ecuaci´n
o
o
xy −2(x + 1)y + (x + 2)y = x3 e2x
para x > 0, sabiendo que la ecuaci´n homog´nea tiene una soluci´n de la forma y = emx .
o
e
o
Soluci´n:
o
y −2 1+

Previo: La ecuaci´n normalizada queda:
o

1x

y+

1+

2
x

y = x2 e2x

Sea y = emx una soluci´n de la ecuaci´n homogenea . Se tiene y = m emx , y = m2 emx . Reemplazando:
o
o
xm2 emx − 2(x + 1)m emx + (x + 2) emx = 0
Para teneruna soluci´n basta tomar
o

⇔

x(m2 − 2m + 1) − 2(m − 1) = 0

ı
o
m = 1 . As´ y1 = ex . es soluci´n.

F´rmula de Abel
o
y2 = ex

1 2(1+ 1 ) dx
x
e
dx
e2x

= ex

1 2(x+ln(x))
edx
e2x

= ex

=

Por lo tanto y1 = ex , y2 =

x2 dx

x3 x
e
3

x3 x
e son soluciones linealmente independientes de la homogenea.
3

Wronquiano:
ex
W (y1 , y2 ) =
ex

x3 x...