Ecuaciones diferenciales

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
a

9

1

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal

9.1

Definici´n
o

Se llama ecuaci´n diferencial ordinaria a cualquier expresi´n de la forma
o
o
F x, y, y , y , . . . , y (n) = 0
que liga a una variable independiente x con una funci´n de ella y = y (x) (variable depenodiente) y sus n, n ≥ 1, primeras derivadas.
´´
El t´rmino “ordinariaYY de la definici´n hace referencia al hecho de que la funci´n
e
o
o
que aparece depende de una unica variable y no aparecen derivadas parciales.
´
Si en la expresi´n aparece despejada la derivada de orden m´ximo:
o
a
y (n) = f x, y, y , . . . , y (n−1)
se dice que la ecuaci´n diferencial est´ en forma normal o expl´
o
aıcita. En caso contrario
se dice que est´ en forma general o impl´
a
ıcita.
Se llama orden de la ecuaci´n diferencial al orden mayor de derivada que aparece en
o
la ecuaci´n.
o

9.2

Definici´n
o

Se llama soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
F x, y, y , y , . . . , y (n) = 0
a cualquier funci´n y = ϕ(x), x ∈ I = (a, b), que tenga derivadas continuas hasta el orden
o
n en I, y que verifique la ecuaci´n:
o
F x, ϕ(x), ϕ (x), ϕ (x), . . . , ϕ(n) (x) = 0
para todo x ∈ I .
Las soluciones pueden darse en forma expl´
ıcita, como se indica en la definici´n, pero
o
tambi´n pueden venir dadas en forma impl´
e
ıcita o param´trica.
e
Resolver una ecuaci´n diferencial es hallar todas sus soluciones.
o

9.3

El origen de las ecuaciones diferenciales

Existenmuchos y variados campos de las Ciencias donde aparecen, y tuvieron su origen,
las Ecuaciones Diferenciales. Por ejemplo:
1. Ley de enfriamiento de Newton: La velocidad con que cambia la temperatura
T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la
temperatura T (t) del cuerpo y la temperatura A del medio ambiente. Es decir
dT (t)
= k (A − T (t))
dt
Luego estaley nos lleva a una ecuaci´n diferencial T = k (A − T ) donde t es la
o
variable independiente y T la dependiente.

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2. Din´mica de poblaciones de Malthus: La velocidad de cambio, con respecto al
a
tiempo t, de una poblaci´n P (t) con ´
o
ındices constantes de nacimientos y mortalidad
es proporcional al tama˜o de la poblaci´n.Es decir
n
o
P (t) = k · P (t)
que es una ecuaci´n diferencial.
o
3. Problemas geom´tricos que impliquen condiciones de pendiente o concavidad.
e

9.4

Ecuaciones de la forma y = f (x)

Se resuelven mediante integraci´n directa. La soluci´n es
o
o
y=

f (x) dx = ϕ(x) + c ,

c∈R

donde ϕ es una primitiva de f (ϕ = f ).

9.5

Ecuaciones de la forma y (n) = f (x)

Seresuelven mediante n integraciones sucesivas:
y (n−1) =

f (x) dx = ϕ1 (x) + c1

y (n−2) =

(ϕ1 (x) + c1 ) dx = ϕ2 (x) + c1 x + c2

y (n−3) =

(ϕ2 (x) + c1 x + c2 ) dx = ϕ3 (x) + c1

x2
+ c2 x + c3
2

...
...
y = ϕn (x) + k1 xn−1 + k2 xn−2 + . . . + kn−1 x + kn
con ki ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.

9.6

Ecuaciones de variables separables

Son aquellas ecuaciones de la forma
y = f (x, y )=
que se pueden transformar, haciendo y =

dy
dx ,

g (x)
h(y )

en

h(y ) dy = g (x) dx
e integrando cada miembro respecto de la variable que all´ aparece se obtienen las soluı
ciones
ϕ(y ) = ψ (x) + c ,
c∈R
siendo ϕ(y ) primitiva de h(y ) (ϕ = h) y ψ (x) primitiva de g (x) (ψ = g ).

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9.7

3

Ecuaciones aut´nomas
oSon ecuaciones de la forma
y = f (y )
que son de variables separables y se resuelven como tales.

9.8

Ecuaciones homog´neas
e

Son ecuaciones de la forma
y =f

y
x

y se resuelven mediante el cambio de variable dependiente u(x) =
Haciendo el cambio nos queda
u x + u = f (u)

y (x)
x

(es decir y = ux).

de donde se obtiene

du
dx
=
f (u) − u
x
que es una...