Ecuaciones Diferenciales


ECUACIONES DIFERENCIALES

Son expresiones que explicita o implícitamente definen funciones y en las cuales la variable que corresponde al dominio de la función (variable dependiente) debe aparecer en uno o mas términos como derivada (o por extensión como diferencial). Es decir que estas relaciones vinculan a una función con sus derivadas y con las variables independientes.

6.1.-CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

6.1.1 De acuerdo a su tipo

6.1.1.1.-Ecuaciones diferenciales ordinarias

En estas ecuaciones diferenciales, la función y = f(x) que se define tiene una sola variable independiente. Es decir que los términos de la ecuación diferencial contendrán derivadas respecto de una sola variable independiente. Estas ecuaciones diferenciales pueden ser expresadascon distinta nomenclatura.

Ejemplo 6.1 a) la cual puede ser expresada de la siguiente forma:




b)

c)

Como observamos en el primer caso la función f(x) puede estar definida implícitamente y en ella no figura la variable independiente. Si se adopta una notaciónfuncional, puede darse el caso donde no aparece la variable dependiente, es decir:

o bien

6.1.1.2.-Ecuaciones diferenciales a derivadas parciales

Estas ecuaciones diferenciales contienen derivadas respecto a 2 o mas variables independientes. Tienen la siguiente forma de expresión:



Ejemplo6.2

El estudio de estas ecuaciones diferenciales no corresponde a este curso.

6.1.2.- De acuerdo a su orden


6.1.2.1.- Definición 1

Se denomina orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada mas alta que figura en la
ecuación.

En el Ejemplo 1a, se tiene una ecuación diferencial de segundo orden (), mientras que en los
Ejemplos 1b y 1c,tenemos ecuaciones de primer orden ().


6.1.3.-De acuerdo a su grado

6.1.3.1.-Definición 2

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente mayor a que se encuentra
elevada la derivada de mayor orden, con la condición que la ecuación se encuentre expresada en
forma polinómica respecto de la variable independiente.
En el Ejemplo 6.1 se tienen ecuacionesdiferenciales de primer grado.



6.2.-SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Es una función o una familia de funciones que verifican la ecuación diferencial.


6.2.1.-Solución general

Es una familia de funciones que verifican la ecuación diferencial, en las que aparecen constantes
que hacen las veces de índices de las familias. Dándole distintos valores a dichas constantes, seobtienen distintas funciones que son solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 6.3 Sea la ecuación diferencial

Sea una solución general de la ecuación diferencial dada.
Por lo tanto:



Observamos quese verifica la ecuación diferencial


6.2.2.-Solucion particular

Es una función que verifica la ecuación diferencial, generalmente obtenida a partir de la solución
general, dando valores a las constantes.

Ejemplo 6.4 en el Ejemplo 6.3 se había llegado una solución general dada por:


considerandopor ejemplo C = 3, resulta: , se tiene una solución particular de , la que ha sido obtenida tomando C = 3 en la solución general.



6.2.3.- Condiciones de contorno

Son condiciones que permiten seleccionar soluciones particulares a partir de la solución general.
Por ejemplo, si se pone como condición en el Ejemplo 6.3 que el punto P(0,2) pertenezca a la
gráfica de la función que...