Ecuaciones diferenciales

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Y SUS APLICACIONES EN LA
INGENIERÍA

INDICE:
-Generalidades. Pg (1-4)
-Etapas de resolución del problema científico. Pg (5)
.

Formulación matemática del problema científico.

.

Solución de las ecuaciones.
Interpretación científica de la solución.

.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de
orden superior. Pg (7-30)1. Aplicaciones a la mecánica:
1.1 Introducción.
1.2 Las leyes del movimiento de Newton.
2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos:
2.1 Introducción.
2.2 La ley de Kirchhoff.
3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.
4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
5. El cable colgante.
6. La deflexión de vigas.
-Aplicaciones de ecuacionesdiferenciales lineales. Pg (31-50)
1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos:
1.1 El resorte vibrante (movimiento armónico simple).
1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento
amortiguado).
1.3 El resorte con fuerzas externas.
1.4 La resonancia mecánica.

Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Y SU APLICACIÓN A LAINGENIERÍA

GENERALIDADES:
El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas
del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más
importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el
diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este
descubrimiento fue la físicaaplicada, dícese, la Ingeniería.
El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la
tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva
(Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia
de esa relación.
La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, ypronto se
vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio
de la variación de una función.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una
función y = f(x), su derivada

dy
= f ´(x) , en forma de diferencial de una función de una
dx

sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertasreglas como
el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la
derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que
debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que a ≤ c ≤ b
x

tenemos que F ( x) = ∫ f (t )dt si a ≤ x ≤ b , existe entonces F´(x) en cada punto x del
c

intervalo abierto(a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos F´(x) = f ( x)
quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada.

1

Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería

-La Derivada de la Integral de una función es la propia función:

F´(x) = f ( x)
-La Integral de la Derivada de una función es la propia función:
x

f ( x) = ∫ f ´(x)dx
a

Con lo antesmencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es más que la
aplicación del teorema fundamental), es posible conseguir la función primitiva de la
función derivada

dy
= f ´(x) mediante la integración de dicha función, que es lo que
dx

necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos
definirlas.
Hay una gran variedad de problemas en los cuales sedesea conocer un elemento variable a
partir de su coeficiente de variación, o dicho de otra forma, queremos conocer cómo varía
dicho elemento en función de una o varias variables.
En definitiva, lo que se pretende es determinar una función desconocida mediante datos
relacionados por una ecuación que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la
función desconocida.
Estas ecuaciones se...