Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
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En donde si Monografias.comlaecuación diferencial se denomina homogénea, pero si Monografias.comentonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.
Principio de Superposición o linealidad
Sean Monografias.comsoluciones de unaecuación diferencial homogénea de orden n, entonces la combinación lineal de estas es:
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También es solución de dicha ecuación diferencial
Dependencia e Independencia lineal
Se diceque las funciones Monografias.comson linealmente independientes si la única solución de la ecuación
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Donde Monografias.com
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantesno es nula, las funciones son linealmente dependientes.
Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de lasecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones Monografias.composeen al menosMonografias.comderivadas, entonces el Wronskiano está dado por:
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Para el caso de tres funciones
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Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuacionesdiferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.
Dado un conjunto de soluciones Monografias.comde una ecuación diferencial homogénea de orden n, dichoconjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
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Ejemplo ilustrativo
Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadasson linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo Monografias.com
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Remplazando valores en
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Se tiene
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Resolviendo el...