ecuaciones diferenciales

 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA Nº 10 (Ultima modificación 5-7-2012)

ECUACIONES DIFERENCIALES

En muchos problemas físicos, geométricos o puramente matemáticos, se trata de hallar una función y = F(x) ó (x,y) = 0 que satisfaga una relación entre sus variables y algunas de sus derivadas o diferenciales como: f [x, y, y, y,....., yn] = 0
Este tipo de relación se denominaECUACION DIFERENCIAL. Por ejemplo:


Se llama ORDEN de la ecuación diferencial al mayor de los ordenes de derivación que incluye. Del ejemplo anterior la primera es de “primer orden” mientras que la segunda es de “tercer orden”.
El GRADO de una ecuación diferencial que puede escribirse en la misma forma de un polinomio, en las derivadas, es el grado de la derivada demayor orden que incluye. En el ejemplo; la primera ecuación es de “segundo grado”, y en la segunda es de primer grado.
Estas ecuaciones se llaman ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, para distinguirlas de las ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES, tales como:
²z + 3 z = z
x² y
En esta ecuación la función incógnita z = f(x,y) depende de más de unavariable, por lo tanto figuran sus derivadas parciales.

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales pueden tener su origen en:
a) Problemas geométricos
b) Problemas de otras ciencias
c) Primitivas

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Veamos por medio de un ejemplo, como se puede originar una ecuación diferencial en este campo de la matemática:
Si se desea conocer una curva, quecumpla con la condición de que en cada uno de sus puntos (x,y) su pendiente sea igual al doble de la suma de las coordenadas en dicho punto tendremos dy/dx = 2.(x + y) que es la ecuación diferencial originada por la condición dada.

PROBLEMAS DE OTRAS CIENCIAS

Supongamos que se ha determinado experimentalmente que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radiopresente. Si en 1600 años desaparece la cantidad media inicial, hallar la cantidad perdida en 100 años.
Llamando Q a la cantidad de radio inicial, Q100 a la de 100 años y t al tiempo tendremos:
luego para hallar k integramos entre los datos conocidos:
ó sea ln Q/2 - ln Q = - k . 1600  ln Q - ln 2 - ln Q = - k . 1600  k= ln2/1600 luego para los 100 años será:

 Q100 = 0,958 . Q

PRIMITIVAS

Una relación entre las variables que contenga “n” constantes arbitrarias, se llama PRIMITIVA. Las “n” constantes reciben el nombre de ESENCIALES si no se pueden sustituir por un número menor de constantes.
Ejemplo: Sea By = A.x² + C x + D ; las constantes A, B, C, D no son esenciales pues dividiendo todo por B tenemos: y = A/B x² + C/B x + D/B = C1 . x²+ C2 . x + C3
donde C1 = A /B ; C2 = C /B ; C3 = D/B luego y = C1 . x² + C2 . x + C3
Para hallar la ecuación diferencial de la primitiva dada; derivamos sucesivamente con respecto a x dy /dx= 2 C1 . x + C2 ; d²y / dx² = 2 C1 ; d3y / dx3 = 0
Como esta última está libre de constantes arbitrarias, es la ecuación diferencial asociada a la primitiva dada.

SOLUCIONES DEUNA ECUACION DIFERENCIAL

En una ecuación diferencial, la incógnita no es un número, sino una función del tipo y = F(x).
Hallar todas las funciones que satisfacen una determinada ecuación diferencial, significa resolver la misma. Todas estas funciones que la satisfacen reciben el nombre de SOLUCIONES o INTEGRALES. Toda ecuación diferencial admite, en general, infinitas soluciones, cuyasgráficas se llaman CURVAS INTEGRALES.
Por Ejemplo: Sea la ecuación dy/dx = x  dy = x . dx integrando
 dy =  x . dx  y = x²/2 + C donde C es una constante arbitraria.

Esta solución representa la ecuación de una FAMILIA o HAZ DE CURVAS, cada una de las cuales puede determinarse fijando el correspondiente valor de C. Es decir, por cada punto del plano en que y = f(x) cumple...