ECUACIONES DIFERENCIALES

Tema 2. Equacions diferencials
1. Qu` ´s una equaci´ diferencial ordin`ria?
ee
o
a
a) Una equaci´ diferencial ordin`ria ´s una equaci´ que cont´ una variable
o
a
e
o
e
desconeguda i les seves derivades. En les equacions diferencials ordin`ries la
a
inc`gnita, y, que busquem, ´s una funci´ que dep`n nom´s d’una variable
o
e
o
e
e
independent x, sobre la que tenim condicionssobre les derivades.
b) L’ordre d’una equaci´ diferencial ´s l’ordre de la derivada m´s gran que
o
e
e
apareix a l’equaci´.
o
c) Direm que una funci´ f (x) ´s una soluci´ d’una equaci´ diferencial si en
o
e
o
o
substituir y per f (x) es satisf` l’equaci´.
a
o
d ) La forma est`ndard d’una equaci´ diferencial de primer ordre ´s
a
o
e
y = F (x, y).
e) Direm que una funci´ y = f (x) ´ssoluci´ de l’equaci´ diferencial anterior
o
e
o
o
´ a dir, f (x) ´s soluci´ si
si en substituir y per f (x) es satisf` l’equaci´. Es
a
o
e
o
f (x) = F (x, f (x)).
La funci´ y = tagx ´s una soluci´ de l’equci´ diferencial y = 1 + y 2 perqu`
o
e
o
o
e
(tagx) = 1 + tag 2 x. En canvi, y = x + 1 no ho ´s perqu` y = 1 i y 2 + 1 =
e
e
x2 + 2x + 2.
2. Equacions diferencialsimmediates
Direm que una equaci´ diferencial ´s immediata si ´s de la forma y = F (x), ´s a
o
e
e
e
dir, F (x, y) no dep`n de y. Es resolen integrant: y = F (x)dx + C.
e
3. Equacions diferencials separables
Direm que una equaci´ diferencial ´s separable si podem escriure F (x, y) com a
o
e
producte d’una funci´ que dep`n nom´s de x i una funci´ que dep`n nom´s de
o
e
e
o
e
e
´ a dir, F(x, y) = f (x)g(y). Per resoldre-les escriurem l’equaci´ diferencial
y. Es
o
dy
dy
en la forma dx = f (x)g(y) i separarem les variables: g(y) = f (x)dx i integrarem
dy
= f (x)dx.
g(y)
4. Equacions diferencials homog`nies
e
Direm que una equaci´ diferencial ´s homog`nia si F (x, y) satisf` F (tx, ty) =
o
e
e
a
F (x, y) per qualssevol t = 0. Les equacions diferencials homog`nies espoden
e
y
convertir en separables fent el canvi de variable u = x . Veiem-ho. De la igualtat
1

y
u = x en dedu¨ y = ux i, derivant, y = u · x + u. D’altra banda F (x, y) =
ım
F (x, ux) = F (1, u). Aix´ l’equaci´ diferencial queda u · x + u = F (1, u). A¨
ı
o
ıllant
u tenim:

1
u = (F (1, u) − u) · ,
x
que ´s separable i, per tant, sabem resoldre.
e
5. Equacions diferencialslineals
Direm que una equaci´ diferencial ´s lineal si es pot escriure com y +f (x)y = g(x),
o
e
on f (x) i g(x) s´n funcions que depenen nom´s de y. Per trobar la soluci´ seguirem
o
e
o
tres passos. Primer buscarem una soluci´ particular de l’equaci´ diferencial lineal
o
o
homog`nia associada y + f (x)y = 0. Aquesta equaci´ diferencial ´s separable i,
e
o
e
per tant, som capa¸os detrobar la soluci´ general que anomenem yh . En el segon
c
o
pas busquem una soluci´ particular yp de l’equaci´ diferencial amb la f´rmula
o
o
o
g(x)
yp = h(x) h(x) dx. La soluci´ general s’obt´ sumant les dues anteriors: y = yh +yp .
o
e
6. Equacions diferencials lineals d’ordre n a coeficients constants
Una equaci´ diferencial lineal d’ordre n amb coeficients constants ´s una equaci´ deo
e
o
la forma :
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y + a0 y = g(x),
on ai , i = 0, · · · , n − 1, s´n constants i g(x) ´s una funci´ que dep`n de x. Les
o
e
o
e
resoldrem en tres passos:
1. Trobem la soluci´ general de l’equaci´ diferencial homog`nia associada yh .
o
o
e
Per fer-ho, considerem el polinomi caracter´
ıstic associat a l’equaci´ diferencial
o
p(t) = tn + an−1 tn−1 +· · · + a1 t + a0 . Suposem que el polinomi caracter´
ıstic
t´ arrels reals α1 , · · · , αr amb multiplicitats m1 , · · · , mr i arrels complexes no
e
reals a1 ± b1 i, · · · , as ± bs i amb multiplicitats µ1 , · · · , µs . Aleshores una base de
l’espai vectorial de les solucions de l’equaci´ diferencial homog`nia ve donada
o
e
j αi x
per les funcions x e , per a i = 1, · · · , r, j =...