Ecuaciones Diferenciales

Tema 3

Modelos Matem´
aticos basados en
E. D. O. de Primer Orden I
Incluiremos en este Tema algunos modelos sencillos que utilizan ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden. En el Tema siguiente, continuaci´
on de ´este, nos centraremos
en modificaciones o generalizaciones m´as complicadas, que a menudo no pueden ser
resueltos de forma exacta.

3.1

Modelizaci´
on Matem´atica

En general se entiende por “modelizaci´on matem´atica” el proceso por el cual se imita la
realidad en t´erminos matem´aticos. El objetivo evidentemente es bien explicar o comprender los fen´omenos naturales, bien encontrar respuestas a problemas t´ecnicos o cient´ıficos.
Toda modelizaci´on lleva consigo un proceso de “idealizaci´on”. La realidad suele ser
compleja y los problemasreales habitualmente dependen de multitud de par´ametros o
variables, al mismo tiempo que suelen estar inter-relacionados con otros procesos. El
dise˜
no de un modelo matem´atico lleva aparejada la simplificaci´on de muchos aspectos
del problema real.
Veremos en este Tema varios modelos matem´aticos relativos a las Ciencias Naturales
en general, en los que el “modelo” consiste en representar unfen´omeno por medio de una
ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden. La resoluci´on de la ecuaci´on permitir´a no
s´olo comprender en profundidad algunos aspectos relevantes del fen´omeno en cuesti´on
sino adem´as, en los casos en los que se trate de estudiar la evoluci´
on de un sistema, hacer
predicciones sobre el comportamiento futuro del mismo.
De manera general (y simplificada),la modelizaci´on matem´atica puede describirse
de forma sistem´atica por medio de los siguientes pasos a seguir1 :
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Para detalles, ver: T.P. Dreyer, Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press, 1993.

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CIENCIAS AMBIENTALES / MODELOS MATEMATICOS
/ TEMA 3

• 1. Identificaci´
on. Se trata de clarificar las preguntas que se intentan responder
con el modelo,formular el problema en palabras, documentar los datos relevantes
e identificar el mecanismo subyacente al problema real.
• 2. Suposiciones. El problema debe ser analizado para decidir los factores del
mismo que son importantes y aqu´ellos que pueden ser ignorados. Con todo ello
deben hacerse suposiciones (o idealizaciones) lo m´as realistas posible.
• 3. Construcci´
on. En este paso se“construye” el modelo, es decir, se traduce al
lenguaje matem´atico el problema (junto con las suposiciones anteriormente realizadas) obteni´endose un conjunto de ecuaciones (o inecuaciones) despu´es de haber
identificado las variables que deben intervenir en las mismas.
• 4. An´
alisis o Resoluci´
on. Se trata de la resoluci´on del problema. Las soluciones consistir´an en general en funciones pormedio de las cuales la o las variables
dependientes se expresar´an en t´erminos de la o las variables independientes. Por
otro lado, se obtendr´a informaci´on acerca de los par´ametros que intervienen en el
modelo.
• 5. Interpretaci´
on. En este paso, la soluci´on matem´atica debe ser comparada con
la realidad para observar si se ajusta a lo conocido acerca del problema real. Se
trata, endefinitiva, de interrumpir el proceso si se obtiene soluciones carentes de
sentido real.
• 6. Validaci´
on. Una vez interpretada la soluci´on, se comprueba num´ericamente
que concuerda con los datos disponibles sobre el problema.
• 7. Implementaci´
on. Finalmente, se usa el modelo para describir el problema,
se pueden por tanto realizar predicciones sobre los valores de las variables. Esnecesario prestar atenci´on al rango de validez del modelo.

3.2

Modelos de Din´
amica de poblaciones para una s´
ola especie

Los Modelos matem´aticos que intentan describir c´omo la poblaci´on de una especie evoluciona frente al tiempo tienen una larga y fruct´ıfera historia. Presentaremos en este Tema
los dos modelos m´as b´asicos, que constituyen el punto de partida de esta rama de la...