ecuaciones diferenciales


Materia: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: Rafael Moreno Cruz
TEORIA PRELIMINAR
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

O como su forma implícita:Tal como hicimos con las ecuaciones de primer orden, empezamos la discusión de ecuaciones diferenciales con la noción de problema de valor inicial. Sin embargo, confinaremos nuestra   atención a ecuaciones diferenciales lineales.
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo   orden tiene la forma:
anxdnydxn+an-1(x)dn─1ydxn-1+…+a1(x)dydx+a0
xy=g(x)
Si además g(x)=0, entonces será homogénea
Siademás los coeficientes aj(x) son constantes, se dice que la ED es de coeficientes constantes, si no es así es de coeficientes variables.
Ejemplos.
Verificar que y=3e2x+e-2x─3x es una solución de la ecuación diferencial lineal
y" ─ 4y = 12x
Y que satisface las condiciones y(0)=4e   y`(0)=1. La ecuación diferencial es lineal, los coeficiente, así como g(x)= 12x son funciones continuas en cualquierintervalo que contiene x=0.
Ejemplo.
El problema del valor inicial
3 y”’+5y”-y’+7y=0
y(1)=0   y’(1)=0   y’’(1)=0
Definición de ecuación preliminar: Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una variable independiente.
Ejemplo:     dydx=2xex2-dy=2xex2
y-xdx+4xdy=0
dudx-dydx=xLa ecuación diferencial se clasifica de acuerdo al tipo de orden y la linealidad.
CLASIFICACIÓN SEGÚN DE TIPO
Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias es decir de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.
Ejemplo: dydx+3dydx²-3dvdx=0                       y´+2y´´+3x=x
               d²ydx²-2dydx+6v=0
Una ecuación que contiene la variable parcial, de una o más variables dependientes   de dos o más
variables independientes se llaman ecuación diferencial parcial.
Ejemplo:   dudy=-dvdx                 dudx=-dudy=u
                d²udx²=d²udt²-2dudt

CLASIFICACION DE ACUERDO AL ORDEN Y AL GRADO
El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se le llama ordende la ecuación; el grado de la derivada de mayor orden en una ecuación diferencial se llama grado de la ecuación.

|
d²ydx²¹-2 dydx+6y=0 |       2do orden Grado 1                                                               |
d²ydx²+5dydx³-4y=ex |       2do orden Grado 1 |
d4udx4+∂²u∂t²=0 |       4to orden Grado 1 |
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                                   SOLUCION DE LAS ECUACION DIFERENCIAL
Se dice que una función f cualquiera, defina algún intervalo I es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida es dicha ecuación se reduce a una identidad.
Ejemplo: Verifica que y=x416     es una solución de E.D   dydx=xy½
dydx=xy½=0                           4x316=xx416½    
x34-xx24=0                         x34=xx24
x34-x34=0                              x34=x34         0=0
EJERCICIOS: Verifica si los siguientes ecuaciones diferenciales. Son soluciones de la siguiente ecuación dada.                                                             Sustituyendo
  1. y = xex                                                           y´´-
2y´
y´=xdexdxex+exdx dx                                           y´´-2y+y=0          y´=xex+ex                                                     xex+2ex-2(ex+ex)+xey=0

y´´=d(xex)dx+d(ex)dx                                               xex+2ex-2xex-2ex+xex=0
y´´=xex+ex+ex                                               2xex-2xex=0    
y´´=xex+2ex                                                   0=0  
                                                                      Si es...