Ecuaciones Diferenciales


ECUACIONES DIFERENCIALES

Cuando reescribimos las leyes que gobiernan el comportamiento de los fenómenos físicos, estas adquieren a menudo la forma de ecuaciones diferenciales, o sea ecuaciones que contienen derivadas.

Ej. Cuando aplicamos la Segunda Ley de Newton a una partícula que se mueve horizontalmente.



Fuerza = Masa x Aceleración

ƒ(x) = FUERZA
MASICA

t:Variable Independiente

x: Variable Dependiente

La función desconocida o incógnita tiene la forma.

y = ƒ(x)

Esta ecuación diferencial no especifica completamente la relación funcional entre x y el tiempo x = ƒ (t).
La ecuación x = ƒ (t) tiene muchas soluciones cada una de las cuales corresponde a un movimiento particular del cuerpo.

Ejemplo: Cuando aplicamos las redes de KIRCHHOFF a lasredes eléctricas.

Ecuación diferencial de un circuito dispuesto en serie.


+ +
I: Variable Dependiente
t: Variable Independiente

La función desconocida o incógnita esta dada por:

I = ƒ(t)

Ejemplo: w = ƒ(x,y,z,t) : Función desconocida o incógnita de la ecuación de La Place.

+ + = 0

Aquí hay tres variables independientes.


DEFINICIÓN: Se llama ecuacióndiferencial a la función que articula una función desconocida z = ƒ ( ) y sus derivadas respecto a una o mas variables independientes.

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA: Se llama ecuación diferencial ordinaria cuando la incógnita de le ecuación diferencial es una función de una sola variable independiente.

Ejemplo:

1. = - αy → y = ƒ(x) (Función Desconocida o Incógnita)

2. → + 5y = 0 → y =g(x) (Función Desconocida)

3. + y = 2senx y = φ(x)

4.
5. E I = P0cos ax w = h(x)

E, I, P0 : Constantes.

ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL

Se llama así cuando la incógnita de la ecuación diferencial es una función que contiene dos o más variables independientes.
Ejemplo:

1. + = 0 ECUACIÓN DE LA PLACE (Se presenta en teoría de electricidad y magnetismo)

2. a2 ( + + ) =ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL CALOR.


ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden está dado por el mayor orden de la derivada en dicha ecuación.

Ejemplo:

= - αy2 → 1er Orden
+ 7 + 5y = 0 → 2do Orden


SOLUCIÓN GENERAL

Sea la ecuación diferencial y’ = ƒ(x,y); entonces la solución general de la ecuación diferencial tiene la forma:

y = ƒ(x,C) Familia de Curvas.
C: Parámetro.Esta solución debe cumplir las siguientes condiciones

i. Satisface la ecuación diferencial para todo C.
ii. Satisface las condiciones iniciales (y(x0) = y0) para cierto valor determinado C1 de las constante.

SOLUCIÓN PARTICULAR.

Sea y = ƒ(x, C) la solución general de una ecuación diferencial.

Si se asigna un valor determinado C0 al parámetro C, entonces y = ƒ(x,C0) es una soluciónparticular y representa a una de las curvas de la familia de curvas.

SOLUCIÓN SINGULAR

Es una solución trivial, que no se puede obtener eligiendo algún valor del parámetro C de la solución general.

TEOREMA DE UNICIDAD Y EXISTENCIA

Sea:
y' = ƒ(x,y) una ecuación diferencial
ƒ(x,y) es una función definida en una región D del plano x o y.
(x0,y0) D

Si:
i. ƒ(x,y) es una funcióncontinua de dos variables x e y en el mismo recinto D.
ii. ƒ(x,y) admite derivada parcial continua para cada x e y del dominio de D.
→ Э¡ Solución: y = ƒ(x), que satisface la condición inicial y(x0) = y0

Geométricamente esto significa que se busca la única curva integral que pasa por el punto M0 (x0,y0).


El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de solución única parala ecuación diferencial pero estas condiciones no son necesarias.
Ejemplo: Analizar la ecuación diferencial: y’ =

= y = 0; i y ii (x0,0)
=

Se puede apreciar que en y = 0 no se cumplen las condiciones i y ii; por lo tanto es probable que no haya unicidad en los puntos del eje x

Solucionamos la ecuación diferencial

=
=
+ C1 = x + C2
y =


Lo que nos...