Ecuaciones Diferenciales

TRABAJO COLABORATIVO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES COD.100412_92

EDSON GUALDIR GAMEZ PINO COD. 84.032.618 CESAR AUGUSTO SALAZAR COD. OIDEN ARIAS COD. ALVARO DÍAZ COD. ALDEMAR CABRERA COD.

JUAN JESUS CRUZ TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

MAYO 03 DEL 2012

INTRODUCCION Las ecuaciones lineales constituyen una clase especial de ecuaciones cuyo estudio estáprofundamente relacionado con los conceptos del algebra lineal. En el caso especial de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes las soluciones se pueden expresar completamente en términos de funciones elementales, un hecho ya conocido por J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII. Esto las hace especialmente aptas para servir como un primer modelo de aquellos procesos procesos físicos quetengan características lineales o aproximadamente lineales (teoría de pequeñas oscilaciones, teoría de circuitos eléctricos, etc.) En los procesos de linealizacion, las ecuaciones lineales también resultan útiles en la etapa inicial del estudio de problemas no lineales.

OBJETIVOS  Evaluar e implementar la teoría vista durante el desarrollo del Módulo.  Abordar los temas de la unidad 1 delcurso abordando ejercicios.  Desarrollar habilidades inter-personales para lograr un desempeño más alto en equipo colaborativo.  Establecer y defender posiciones con evidencia y argumento sólido  Volver el razonamiento más flexible en el procesamiento de información y al enfrentarse a las obligaciones adquiridas en un trabajo en grupo

Desarrollo de los ejercicios
1. Resuelva el problema devalor inicial:
2x2 y + 3xy − y = 0; si y(1) = 2, y (1) = 1

Soluci´n: Resolveremos el problema con ayuda de las series de potencias; suo ∞ n ı pondremos que la soluci´n tiene la forma y = o n=0 an x y de aqu´ que ∞ ∞ ∞ n−2 = n−1 , y que y = n−1 = y = n=2 n(n − 1)an x n=0 nan x n=1 nan x ∞ n(n − 1)an xn−2 . De este modo tenemos que n=0
∞ ∞ ∞

2x2
n=0

n(n − 1)an xn−2 + 3x
n=0

nan xn−1 −n=0

an xn = 0

Operamos y factorizamos:
∞ ∞

(2n(n − 1) + 3n − 1) an x =
n=0 n=0

n

2n2 + n − 1 an xn = 0

de donde la unica opci´n v´lida es que 2n2 + n − 1 = 0. En ete caso tenemos que ´ o a n = 1/2 ´ n = −1 t por tanto llegamos a la soluci´n y = c1 x1/2 + c2 x−1 . Ahora o o 1 consideramos los valores iniciales considerando que y = 2 c1 x−1/2 − c2 x−2 . Al reemplazar los valoresconocidos obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente: 2 = c1 + c2 1 1 = 2 c1 − c2
3 Al resolver por eliminaci´n tenemos que 3 = 2 c1 y por tanto c1 = 2, y de o aqu´ que c2 = 0. As´ que la ecuaci´n diferencial dada tiene como soluci´n — ı ı o o para los valores iniciales dados— a y = 2x1/2 . 1 Verificamos: 2x2 2x1/2 + 3x 2x1/2 − 2x1/2 = 2x2 − 2 x−3/2 + 3x x−1/2 − 1/2 = −x1/2 + 3x1/2 − 2x1/2 = 0;y por tanto vemos que efectivamente es la 2x soluci´n. (N´tese que los puntos dados tambi´n se satisfacen) o o e

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

1

P´gina 2 a

A. y1 = 1, e y2 = log x Soluci´n: Tenemos que y1 = 0 y que y2 = 1/(x ln(10)) (Asumiendo que la o notaci´n “log” indique el “logaritmo com´n” o “logaritmo en base diez”) o u W [y1 , y2 ] = det B.y1 = eax , e y2 = xeax Soluci´n: Tenemos que y1 = aeax y que y2 = eax + axeax , y por tanto o W [y1 , y2 ] = det eax xeax ax eax + axeax ae = e2ax + axe2ax − axe2ax = e2ax 1 log x 0 1/(x ln(10)) = 1 x ln(10)

C. y1 = e−x , e y2 = e2x Soluci´n: Tenemos que y1 = −e−x y que y2 = 2e2x , y por tanto o W [y1 , y2 ] = det e−x e2x −e−x 2e2x = 2ex + ex = 3ex

3. Resolver las siguientes ecuacionesdiferenciales por el m´todo de coeficientes e
constantes: A. 4y − 8y + 7y = 0 Soluci´n: La ecuaci´n caracter´ o o ıstica ser´ 4m2 −8m+7 = 0 que al resolver ıa nos da √ √ √ 8 ± −48 3 8 ± 64 + 112 = =1± i m= 8 8 2 √ de modo √ α = 1, β = √ 3/2. La soluci´n general ser´ entonces y = que o a 3 3 x cos x sin c1 e 2 x + c2 e 2 x . B. y + 2y + 3y = 0 Soluci´n: La ecuaci´n caracter´ o o ıstica es m2 + 2m + 3 =...