Ecuaciones diferenciales

1. El Pb-209, is ́otopo radiactivo del plomo, se desintegra con una raz ́on proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene una semivida de 3.3 horas (es decir, en cualquiermomento dado hay el doble de is ́otopo que 3.3 horas despu ́es). Si al principio hab ́ıa 1 gramo de plomo, ¿cu ́anto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %?

Soluci ́on: (1) Llamando X(t)a la cantidad de Pb-209 (en gramos) presente en el instante t (en horas), tenemos que
X′(t) = −kX(t)
para cierta constante k > 0. E ́sta es una ecuaci ́on en variables separables. Por tanto,integrando
en ambos miembros la igualdad:
se obtiene
X′(t) = −k X (t)
logX(t)=−kt+c ⇐⇒ ⇐⇒ X(t)=Ce−kt
para una constante C desconocida. Al principio tenemos un gramo de Pb-209, esto es, X(0) = 1, luegoX(0)=Ce−k·0 ⇐⇒ 1=C
Por otro lado, como la semivida es de 3.3 horas, al cabo de 3.3 horas ha de quedar la mitad del
Pb-209 de partida, y as ́ı
Buscamos un t tal que X(t) = 0,1, con lo cual ha de serlog 2
e− 3,3 t =0,1 ⇐⇒ −log2t=log0,1 ⇐⇒ 3,3
⇐⇒ t = 3,3 log 0,1 = 3,3 log 10 ≈ 10,96236271 horas. −log2 log2
X(3,3) = 1/2 ⇐⇒ e−3,3k = 1/2 ⇐⇒
−3,3k = log(1/2) ⇐⇒ k = log(1/2) = log 2
y con esto laexpresi ́on de X(t) queda
X(t) = e− 3,3 t
−3,3 3,3 log 2

Entregar las preguntas en hojas separadas. Tiempo: 3.30 horas PROBLEMA 1. (2.5 puntos)
1. El Pb-209, is ́otopo radiactivo del plomo, sedesintegra con una raz ́on proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene una semivida de 3.3 horas (es decir, en cualquier momento dado hay el doble de is ́otopo que 3.3 horas despúes). Si al principio hab ́ıa 1 gramo de plomo, ¿cu ́anto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %?
2. Supongamos que tenemos un gramo de un material radiactivo ex ́otico que sedesintegra en cada momento con una velocidad proporcional a la ra ́ız cuadrada de la cantidad existente. Si al cabo de un an ̃o s ́olo queda 1/4 de gramo, ¿al cabo de cu ́antos an ̃os tendremos 0.1...