ecuaciones diferenciales

RED ORTOGONAL
Es aquella cuyas rectas auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.
1. Trayectorias ortogonales :
Sea Φ(x, y, C) = 0 una familia uniparametrica de curvas que no se cortan. A veces es posible obtener una ecuacion diferencial cuya resoluciongenera la familia de curvas dada. Para ello, hay que derivar implıcitamente respecto a x y, usando la ecuacion original, eliminiar el parametro C (no siempre se dan condiciones para poder eliminar C). Ası, se obtiene la ecuacion diferencial buscada: (∂Φ ∂x + ∂Φ ∂y y 0 = 0 Φ(x, y, C) = 0 ⇒ F(x, y, y0 ) = 0 .
El problema de las trayectorias ortogonales trata de hallar otra familia uniparametrica decurvas Ψ(x, y, C) = 0 de tal forma que en cada punto de interseccion de dos curvas de ambas familias, la recta tangente de la primera curva en el punto de corte sea perpendicular u ortogonal a la recta tangente de la segunda curva. Si la ecuacion diferencial asociada a la familia original, F(x, y, y0 ) = 0, se escribe en la forma explıcita y 0 = f(x, y), entonces la pendiente de la recta tangente en(x, y) es f(x, y) y la pendiente de la recta ortogonal en (x, y) es −1 f(x,y) . Luego para encontrar las trayectorias ortogonales hay que resolver la ecuacion diferencial y 0 = −1 f(x, y) Ejemplo 1.1. Sea x 2 + y 2 = 2cx. Hallar la ecuacion deferencial asociada: ( 2x + 2yy0 = 2c x 2 + y 2 = 2cx ⇒ x 2 + y 2 = 2x(x + yy0 ) ⇒ y 0 = y 2 − x 2 2xy.
La ecuacion diferencial de las trayectoriasortogonales es: y 0 = 2xy x 2 − y 2 Se trata de una ecuacion homogenea: y 0 = 2y/x 1−(y/x) 2 . Con el cambio z = y/x se transforma en z + xz0 = 2z 1 − z 2 ⇒ xz0 = z(1 + z 2 ) 1 − z 2 ⇒ Z (1 − z 2 ) z(1 + z 2) dz = Z 1 x dx + C Integrando Z ( 1 z + −2z 1 + z 2 )dz = ln |x| + C ⇒ ln |z| − ln(z 2 + 1) = ln |x| + C ⇒ z z 2 + 1 = Cx, C 6= 0 Deshaciendo el cambio y y 2 + x 2 = C ⇒ y 2 + x 2 = ky, k 6= 0 y juntocon la solucion de equilibrio (z = 0): ( y 2 + x 2 = ky, k 6= 0 y = 0 .
Las trayectorias ortogonales a la familia de cırculos centrados en el eje x es una familia de cırculos centrados en el eje y y la recta y = 0.
1.2 FAMILIA UNIPARAMETRICA
En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo, o también una familia uniparamétrica es un subconjunto de un grupo de Lie de dimensión uno. De hechoun grupo uniparamétrico puede ser representado por una colección de "operadores" o elementos de un grupo , que vienen dados por un homomorfismo local de grupo continuo , de la recta real , considerada como grupo aditivo) a otro grupo topológico G. Un homomorfismo local como el anterior se define por las siguientes condiciones:
1.
2.

Cuando la aplicación que define el subgrupo sepuede extender a toda la recta real, es decir, cuando en la definición anterior puede extenderse de modo que , entonces la extensión de es unhomeomorfismo ordinario y entonces el grupo uniparamétrico no sólo es un subconjunto de un grupo continuo de dimensión uno, sino que toda la colección es en sí misma un grupo continuo unidimensional.
Un grupo uniparamétrico global puede ser identificado conun grupo de Lie unidimensional.

Ejemplo:
Trayectoria ortogonales
Calcular las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y x ke k x = - + ÎÂ - 1 , SOLUCIÓN: Calculamos, en primer lugar la ecuación diferencial de la familia: y x ce y ce x x = - + = - ü ý ï þ ï Û + = - - 1 ' 1 y' y x . La ecuación diferencial de las trayectorias es, entonces: y y x ' = - 1 . Con el cambio de variable u =y - x queda u u ' +1 = 1 , ecuación de variables separadas que escribimos como 1 1 1 1 - - æ è ç ö ø ÷ = = ì í ï î ï u du dx u Sus soluciones son 1- = Î - - u ke k R u x , . Deshaciendo el cambio anterior obtenemos la ecuación de las trayectorias: x y ke k y = - + ÎÂ - 1 , .
La aplicación dada por:


Donde denota el conjunto de números complejos de módulo unidad, que topológicamente...