Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES

1.1. MOTIVACIÓN
En cursos anteriores se ha manejado con frecuencia la palabra ecuación la
cual se utiliza en muy variadas ocasiones, por ejemplo: x2 − 3x + 2 = 0, x3 − 1 = 0,

senx = 0, tgx = ex , ... y como esas, muchas otras análogas, así como sistemas de las
mismas. En esos casos se trata de hallar números que sonlas incógnitas de la
ecuación. Estas ecuaciones pueden admitir más de una solución. Existen numerosos
problemas de la Ingeniería, que conducen a plantear ecuaciones, pero donde ahora las
incógnitas ya no son números sino otros objetos matemáticos. Entre estas ecuaciones
se encuentran las denominadas ecuaciones diferenciales en las cuales la(s)
incógnita(s) que se presentan son funciones, y sellaman diferenciales puesto que en
dichas ecuaciones figuran las derivadas de las funciones incógnitas.
En cursos anteriores de Cálculo se aprendió que, dada una función y = f(x), la
derivada dy dx = f '(x) es también una función de x y se encuentra mediante alguna
2

regla apropiada. Por ejemplo, si y = ex

2

entonces dy dx = 2xex o bien dy dx = 2xy .
El problema que se enfrenta eneste tema no es: dada una función y = f(x), encontrar
su derivada; más bien, el problema es: si se da una ecuación tal como dy dx = 2xy ,
encontrar de alguna manera una función y = f(x) que satisfaga la ecuación. En una
palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales. Se debe señalar que ésta es una
de las ramas de la Matemática que más profundamente se ha estudiado desde hace
unos 300años, siendo la Mecánica Celeste la primera área donde se aplicó
intensamente la teoría de las ecuaciones diferenciales. Desde esa época, el campo de
aplicaciones de esta teoría ha aumentado considerablemente, y se puede señalar (a
groso modo) que las mismas rigen una gran cantidad de fenómenos (deterministas)
donde ciertas magnitudes varían de manera continua en función de uno o variosparámetros, uno de los cuales frecuentemente es el tiempo.

1.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL
Definición 1. Una ecuación diferencial es aquella en la que intervienen derivadas o

diferenciales. Si tales derivadas son las de una función de una variable, entonces a la
ecuación diferencial se le llama ordinaria. Una ecuación diferencial parcial (o en
derivadas parciales) contiene derivadas parciales.

1.38.Problemas propuestos

1

d2 y

dy
Ejemplo 1. Las ecuaciones x
−x
+ y = −7x ,
2
dx
dx
3

3

3
 d4 y 
 d2 y 
1
5  dy 
 4  + 2 2  − x 
 = 3,
 dx 
 dx 
 dx 





(x2 − 5y + 3)y ' = −7x + 2y , son ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que

∂z
∂2 t
∂ 2 t ∂2 t
= −2 ,
+ 2 + 2 = 0 son ecuaciones diferenciales parciales o en derivadas
∂y∂x2 ∂y
∂z
parciales.
Ejemplo 2. Se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
a.

(1 − x2 )y ''− 2xy '+ α(α + 1)y = 0, α ∈ R (Ecuación de Legendre que se presenta en

problemas de propagación del calor con simetría esférica)
b. y ''+ µ(y2 − 1)y '+ y = 0 (Ecuación de Van der Pol que se presenta en problemas de
circuitos eléctricos conteniendo tubos al vacío)
Ejemplo 3. Setienen las siguientes ecuaciones diferenciales parciales:
a. utt − a2uxx = 0 (Ecuación de onda unidimensional que caracteriza la propagación de
b.

ondas en algunos medios y las vibraciones mecánicas de una cuerda vibrante)
uxx + uyy + uzz = 0 (Ecuación de Laplace que se presenta en el estudio de
potenciales magnético, eléctrico, gravitatorio y en el flujo de calor)

1.3. ORDEN DE UNAECUACIÓN DIFERENCIAL
Definición 2. Se llama orden de una ecuación diferencial al mayor orden de las
derivadas que aparecen en dicha ecuación. Es decir, es el orden de la más alta

derivada de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4.

d2 y

5

 dy 
− 4
 − 3y = 1 es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
dx2
 dx 

orden o de orden dos. La ecuación

∂ 4t
∂x4

+

∂2...