Ecuaciones Diferenciales

1.- Se fija un peso de 8lb a un resorte cuya constante es de 16lb/ft. Determine la ecuación de movimiento.
Desarrollo descriptivo:
Se basa en el sistema de masa resorte, representado por la ley de Hooke, entonces hay que armar la ecuación a partir de eso.
Desarrollo interpretativo:
Solución: y´´+8y´+16y=0Memorias de cálculo:
Es una ecuación derivada de la ley de Hooke que se aplica en lossistemas masa resorte, estos sistemas describen el oscilamiento de los resortes al cargarles peso y observar la amortiguación que ocurre.
2.- Si en un circuito LRC se tiene que L=0.05 h, R=4 ohm, C=0.01f y E(t)=0v. Determine la carga del capacitar sí las condiciones iniciales son q(0)=5c y i(0)=0A.
Desarrollo descriptivo: el problema se trata de un circuito LRC en donde se trata de un capacitor,una resistencia y una fuente de poder, se ira haciendo el procedimiento de solución de dicho problema.
Desarrollo interpretativo:
q(t)=? Ld2qdt2+Rdqdt+1cq=EtL=0.05h 0.05q’’+4q’+10.01q=0
R=4Ω α=-40 β=20
C=0.01F yg=e∝xC1Cosβx+C2SenβxE(t)=0 yg=e-40xC1Cos20x+C2Sen20xq(0)=5 q(0)= 5 q(o)=e-40(0)C1Cos20(0)+C2Sen20(0)i(0)=0Aqo=1c1+0 1c1+0=5c1=5i= yg'i= 40e-40xC1Cos20x+C2Sen20x+e-40x -20C1Sen20x+20C2Cos20x i=0 i=40e-400C1Cos200+C2Sen200+e-400 -20C1Sen200+20C2Cos200 i=-40C1+120 0=-40c1+20:c1=5 entonces 0=-200+20c2C2=10
q=q=e-40x5Cos20x+10Sen20xMemorias de cálculo:
En este problema lo que hicimos fue sacar los datos que te dan y después lo sustituimos en l ecuación dada Ld2qdt2+Rdqdt+1cq=Et y sacamos nuestra ecuación homogénea obteniendo, a si sacamos nuestra ecuación característica y sacamos nuestras raíces obteniendo así nuestra ecuación y a esa ecuación la sustituimos con el valor de q(0)obteniendo un resultado qo=1c1+0 y ese resultado que nos dio lo igualamos a 5 que es el valor de “q” 1c1+0=5 a si obtuvimos el valor de la primera constante, después a nuestra ecuación principal la derivamos para a si obtener la corriente "i" y nos quedo la siguiente ecuación i= yg'i= 40e-40xC1Cos20x+C2Sen20x+e-40x -20C1Sen20x+20C2Cos20x en esta ecuación sustituimos de la misma manera i0=0 y nos quedoel siguiente resultado i=-40C1+120 y como i0=0 el resultado obtenido lo igualamos a cero obteniendo lo siguiente 0=-40c1+20 en donde la constante uno ya tenemos su valor y lo remplazamos por lo que vale que en este caso es 5 obteniendo a si nuestro valor de la segunda constante 0=-200+20c2 que es=10en la cual logramos obtener el resultado final sustituyendo las constantes en la primera ecuaciónobtenida
q=e-40x5Cos20x+10Sen20x3.- Se suspende un peso de 10 lb de un resorte y lo alarga 2 pulgadas de su longitud natural. Determine la ecuación de movimiento de la masa.
Desarrollo descriptivo: Se nos presenta un problema de masa-resorte y el objetivo es resolverlo con lo visto en clase.Desarrollo interpretativo: Como tenemos un problema masa-resorte nos basaremos en la ley de Hooke parapoder resolverlo y cambiar las unidades a las que son necesarias.
2 pulgadas = 2/12=1/6 ft
 Sustituyendo tenemos: 10=k(1/6)
por lo tanto: k= 10/1/6)
es decir: k= 60(lb/ft)
dado que w=mg, y considerando g=32(ft/s2), obtenemos el valor de la masa: 10=m(32)
m= 10/32=5/6slug
por tanto: ω2=k/m= 6/(5/16)=192
es decir: ω=√192 = 8√3
la ecuación del movimiento es:
y(t)=c1cos(8√3t)+c2sen(8√3t)Memorias de cálculo: Lo que se realizó fue buscar la fórmula que nos ayudara en este problema, convertir las unidades que tenemos a las que eran necesarias, sacar todos los datos que son necesarios para la ecuación general y sustituir en la ecuación general.
4.- Una masa de 8 lb se une a un resorte cuya constante es de 2 lb/ft. El medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a...