Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas quecontienen derivadas respecto a dos o más variables.
ara ejemplificar esto, supongamos que nos piden resolver la siguiente ecuación diferencial: y’=x√y y nos dicen que verifiquemos que la función (x^4)/16 es una solución para dicha ecuación, entonces lo que debemos hacer es sustituir la función en la igualdad y comprobar que esta se cumple, esto implica calcular la derivada de la función ysustituirla en la igualdad, entonces lo primero que hacemos es calcular la derivada de la solución de prueba, derivamos a y con respecto a x lo cual nos da un resultado de: dy/dx=y´= (4x^3)/16=( x^3)/4 y luego lo reemplazamos en la ecuación de igualdad, la ecuación queda entonces como: ( x^3)/4=x√(x^4/16), como vemos si resolvemos la raíz cuadrada la parte izquierda de la ecuación es igual a la partederecha y decimos entonces que la función (x^4)/16 es una solución para dicha ecuación. 

Una ecuación diferencial tiene distintas clasificaciones, una de las maneras de clasificar una ecuación diferencial, es que diga que se trata de una ecuación diferencial ordinaria (E.C.D.O), esto quiere decir que se deriva la variable dependiente con respecto a una única variable independiente, pero si laecuación implica derivadas parciales decimos que estamos ante una ecuación diferencial parcial. En el video se ven y explican otro tipo de clasificaciones que tienen este tipo de ecuaciones.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuacióndiferencial ordinaria, donde  representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, ,  es la derivada de  con respecto a .
La expresión 
es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumplauna determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
Orden de la ecuación[editar · editar código]
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.
Grado de la ecuación[editar · editar código]
Es lapotencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal[editar · editar código]
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
En cada coeficiente queaparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
Ejemplos:
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
 es una ecuacióndiferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
Usos[editar · editar código]
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
En dinámica estructural,...