ECUACIONES DIFERENCIALES

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que eldeterminante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r < n
Observemos que esto se debe a que:
De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el sistema compatible indeterminado.
Ejemplos







r = 3 n = 3



Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:
a11x1 +a12x2 +....+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +....+a2nxn = b2
...........................................
am1x1 + am2x2 +....+amnxn = bm


xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).
bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
aij y b i  .
m, n  ;      
  m > n, ó, m = n, ó, m < n.


Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual alnúmero de incógnitas.
Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t,...
Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
La solución de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.


Sistemas de ecuaciones equivalentes
Los sistemas de ecuacionesequivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de unsistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema sesustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.


Clasificación de sistemas de ecuaciones
Incompatible
No tiene solución.
CompatibleTiene solución.
Compatible determinado
Solución única.
Compatible indeterminado
Infinitas soluciones.


Sistemas de ecuaciones escalonados
En los sistemas de ecuaciones escalonados cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
x + y +   z =  3
       y + 2 z = - 1 
             z = - 1
Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z=-1.
Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.
Ysustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x= 3.


También es un sistema escalonado:
x + y + z = 4
      y +  z =  2
Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.
x + y = 4 − z
         y = 2 − z
Consideraremos z= λ, siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.
x + y = 4 − λ         y = 2 − λ
Las soluciones son:
z = λ   y = 2 − λ   x = 2.


Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
3x
+2y
+ z...