Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones difernciales…
Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales
Hugo Lombardo Flores 13 Abril 2011

1
1.1

Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones lineales y reduciblesa estas.

1.
dy + 2y = 0 dx
Definimos el factor integrante.

p(x) = 2

factor integrante: e 2dx = e2x multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.
dy e2x dx + 2e2x = 0

´

el ladoizquierdo de la ecuacion se reduce a: separamos variables e integramos.
´
d 2x dx [e y] d 2x dx [e y]

=0

=0

´

dx + c

e2x y = c y = ce−2x

2. forma lineal.

dy = 3y dx
dy dx

−3y = 0

p(x) = −3

Factor integrante: e −3dx =e−3x multiplicamos por factor integrante. 1

´

dy e−3x dx − 3e−3x y = 0

´

dy −3x y dx [e

´ = 0 dx + c

e−3x y = c y = ce3x

3.
3dy + 12y = 4 dx
dy dx 4 3

pasamos la ecuacion a la forma lineal.
+ 4y =

p(x) = 4

Factor integrante: e

´

4dx

=e4x

dy e4x dx + 4e4x y = 4 e4x 3 ´ d 4x ´ 4x e dx + c dx [e y] = 1e4x y = 4 e4x + c

y=

1 4

+ ce−4x

4. forma lineal

y = 2y + x2 + 5

y − 2y = x2 + 5

Factor integrante: e

´

−2dx

= e−2x

e−2x y − 2e−2x y = e−2x x2 + 5e−2x ´ d −2x ´ ´ y] =e−2x x2 + 5 e−2x + c dx [e
5 e−2x y = − 2 e−2x − 1 e−2x (2x2 + 2x + 1) + C 4

y = −x − 2

2

x 2

−

1 4

+

5 2

+ ce2x

5.

ydx − 4(x + y 6 )dy = 0 ydx = 4(x + y 6 )dy
dx dy=

4(x+y 6 ) y

;

dx dy

=

4x y

+

4y 6 y

2

denimos la forma lineal.
dx dy

−

4x y

= 4y 5
−4

Factor integrante: e−4

´

1 y dy

; e−4 log(y) ; elog(y) ; y−4 =
−
1 4x y4 y

1 y4

1 dx y 4 dy

=

1 5 y 4 4y

d 1 dy [ y4 x]

= 4y

´

d 1 dy [ y4 x] 1 y4 x

´ = 4 ydy

= 2y 2 + C

x = 2y 6 + cy 4

6.

xy + y = ex
1 y + xy = ex xFactor integrante:
e
´
1 x dx

= elog x = x
xex x

x xy + x y = d dx [xy]

= ex

Integramos:

´

d dx [xy]

=

´

ex dx + c

xy = ex + c y = ex x−1 + cx−1

7.
x
dy dx...