ecuaciones diferenciales




ECUACION DE CALOR.






ANDREA ALVAREZ TORO
ECUACUACIONES DIFERENCIALES








UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE INGENIERIA
2014


RESUMEN

En este trabajo se realizará una breve presentación sobre la ecuación del calor veremos que es una importante en ecuación en derivadas parciales que describe la distribución del calor y para ello asociaremos términos importantes que llevan a sudeducción y conceptos claves como la transferencia de calor, los modos de transferirse y su utilidad en la vida cotidiana.






















INDICE.

1. Introducción.

2. Metodología.

3. Deducción de la ecuación de calor.

4. Discusiones o resultados.

5. Conclusión.

6. Bibliografía.

















INTRODUCCION.
L a transferencia de calor es la energía en tránsito debida a una diferencia detemperaturas. Podemos conocer diferentes tipos de transferencia de calor, una es por conducción a través de un sólido o un fluido estacionario, otra por convección de una superficie a un fluido en movimiento y por ultimo intercambio neto de calor por radiación entre dos superficies.
En este trabajo nos concentraremos en un análisis de conducción para determinar el campo de temperatura en un medio;es decir, conocer la distribución de temperaturas, que representa como varia la temperatura con la posición en el medio. Una vez conocemos esta distribución, el flujo de calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la ley de Fourier (la ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807).
Para un sólido, el conocimiento de la distribución detemperaturas sirve para comprobar la integridad estructural mediante la determinación de los esfuerzos térmicos, sus expansiones y deflexiones, también es útil para optimizar el espesor de un material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos especiales que se usen con el material.










METODOLOGIA.
Si se tiene una varilla aislada homogénea de longitud L a unatemperatura inicial en cada x ∈ [0.L] dada una función f(x), los puntos extremos se mantienen en 0 y la temperatura de cada sección transversal es constante. El problema consiste en describir la temperatura T(x,t) del punto x de la varilla en el tiempo t.

Para describir la forma en que Fourier resolvió el problema es necesario escribir la ecuación diferencial que T satisface hay que tener en cuentatres principios de la física: la densidad de la energía calorífica, ley de enfriamiento de Newton y la ley de la conservación de la energía.

Hallaremos la encuacion del calor en una dimensión y después se podrá generalizar.

En el proceso de derivación de la ecuación se emplearan las magnitudes : T(x,t) será la temperatura de la barra en un instante de tiempo t y Q(x,t) será la cantidad de caloren la posición x en un instante de tiempo t.

Si se aplica el principio de conservación de la energía sobre la vara de cobre se obtendrá: Variación de la energía interna= flujo de calor entrante – flujo de calor saliente.

Por otro lado, existe una ley física que relaciona el calor Q con la masa m y la temperatura T, llamada ecuación fundamental de la termología. Esta ecuación describe el procesode calentamiento de una fase de un cuerpo en al que CP es una característica constante del material, que representa su calor especifico.

Se considera un segmento infinitesimal y como la sección transversal de la vara tiene una superficie tendrá un volumen resultante, luego de esto se introducirá un nuevo parámetro ρ que representará la densidad del material y se sustituyera en la ecuación decalor específico.

El siguiente paso consiste en combinar la nueva expresión para Q con el principio de conservación de calor, se divide por el volumen que resulto en el paso anterior a ambos lados y se extrae un signo menos como factor común del lado derecho.

Si se saca el límite en el lado derecho cuando el Δx tiende a 0, que veremos de donde sale el resultado será la derivada parcial de Q....