Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto delas que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones enderivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Un tercer tipo de ecuación diferencial, usualmente no considerado en los cursos introductorios del cálculo, sonlas ecuaciones diferenciales estocásticas que sirven para definir ejemplos de procesos estocásticos.
Solución de una ecuación diferencial
Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es unafunción que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
1.- Solucióngeneral: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constantecorresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal delas soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de laecuación completa.
2.- Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto dela curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el puntoP(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de...