Ecuaciones Diferenciales

Tema 1

Ecuaciones Diferenciales.
Conceptos Generales
Introducci´
on
La Modelizaci´on y Simulaci´on es una ´area enorme de la ciencia pura y aplicada, a la
que intentamos aproximarnos en esta asignatura. Dadas las limitaciones, centraremos
la materia a estudiar en los Modelos Matem´aticos basados en el uso de Ecuaciones
Diferenciales, y en particular estudiaremos con cierto detalle las EcuacionesDiferenciales
Ordinarias. Esto permitir´a adquirir una formaci´on lo suficientemente s´olida como para
poder abordar en el futuro profesional, si fuera necesario, problemas m´as complicados,
como los derivados del uso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, o bien otro tipo de
modelos no basados en ecuaciones diferenciales.
En este primer tema se presentan una serie de conceptos b´asicos acerca delas ecuaciones diferenciales.

1.1

Definiciones Generales

on diferencial ordinaria (e.d.o.) a toda relaci´on entre una
Definici´
on: Llamaremos ecuaci´
variable independiente x, una dependiente (la funci´on desconocida y(x)) y sus derivadas
y (x), y (x), . . . , y (n) (x):
F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0
Definici´
on: Se llama orden de una ecuaci´on diferencial ordinaria al mayor de los´ordenes
de las derivadas que contiene.
La clasificaci´on m´as general de las ecuaciones diferenciales se realiza en funci´on del
n´
umero de variables independientes presentes, las ecuaciones diferenciales ordinarias, tal
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y como se han definido, involucran a una u
´nica variable independiente y, en consecuencia,
las derivadas que aparecenen la ecuaci´on son derivadas ordinarias. En cambio, si se
tienen dos o m´as variables independientes, las ecuaciones poseer´an derivadas parciales
y, por tanto, ser´an denominadas ecuaciones en derivadas parciales (e.d.p.)
Ejemplos:
• xy + y + xy = 0 es una e.d.o. de segundo orden con utilidad en la aerodin´amica.
• y +

x
y

= ln y es una e.d.o. de primer orden.

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• m ddt2x = F es una e.d.o.de segundo orden (Segunda Ley de Newton de la Mec´anica).
•

dN
dt

•

= y(2−3x)
ıa al estudiar la compex(1+3y) es una e.d.o. de primer orden que aparece en Ecolog´
tencia entre dos especies.

•

dQ
dt

= kN es la ecuaci´on de Malthus (e.d.o. de primer orden).

dy
dx

= aQ, con a < 0, es la ecuaci´on que modeliza la desintegraci´on de una sustancia
radiactiva (e.d.o. de primer orden).

• y − (1 − y2 )y + 9y = 0 es la ecuaci´on de Van der Pol (e.d.o. de segundo orden), con
aplicaci´on en varios campos de la ciencia.
•

∂2φ
∂x2

+

∂2φ
∂y 2

•

∂2y
∂x2

−

2
1 ∂ y
v 2 ∂t2

= 0 es la ecuaci´on de Laplace en el plano (e.d.p. de segundo orden).
= 0 es la ecuaci´on de ondas en una dimensi´on (e.d.p. de segundo orden).

Estudiaremos en esta asignatura diversos tipos de e.d.o. y sus aplicaciones,particularmente e.d.o. de primer orden.
Si en una e.d.o. de primer orden fuera posible despejar y , se dice que la ecuaci´on se
presenta en forma normal:
dy
= y = f (x, y)
dx

1.2

Soluciones exactas

Definici´
on: Llamaremos soluci´on de una e.d.o. F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 a toda
funci´on y = φ(x) que sustituida en la ecuaci´on la convierta en una identidad.
Ejemplos:
• La funci´on y= e2x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial de segundo orden: y −5y +6y = 0,
puesto que y = 2e2x , y = 4e2x y por tanto:
4e2x − 5(2e2x ) + 6e2x = 10e2x − 10e2x ≡ 0
• Las funciones N1 (t) = 5ekt y N2 (t) = 12ekt son soluciones de la Ecuaci´on de Malthus antes
escrita.

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• La funci´on y = ax2 +bx+c, para cualesquiera constantes a, b y c,es soluci´on de la ecuaci´on
de tercer orden y = 0.

Definici´
on: Se llama soluci´on general de una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer
orden a una expresi´on del tipo:
y = y(x, C)
donde C es una constante real, de forma que para cada valor de C la funci´on y = y(x, C)
sea soluci´on de la e.d.o. Cada una de dichas soluciones (para los diferentes valores de
C) se llama soluci´on particular...