Ecuaciones diferencialess

Tema 5 Generalidades Sobre las Ecuaciones Diferenciales
5.1 Introducci´n o

En ingenier´ ciencias f´ ıa, ısicas y sociales, hay muchos problemas que, al formularlos en t´rminos matem´ticos, requieren la determinaci´n de una funci´n, la cual debe satisfacer e a o o una ecuaci´n que contiene derivadas de la funci´n desconocida. Estas ecuaciones reciben o o el nombre de ecuaciones diferenciales.Definici´n 5.1 (Ecuaci´n diferencial) Una ecuaci´n se llama ecuaci´n diferencial si o o o o contiene derivadas o diferenciales de una o m´s variables dependientes de una o m´s a a variables independientes. Uno de los ejemplos m´s conocidos es la ley de Newton a F = ma con a = d2 x dt2 ⇒ m d2 x = F o m x· = F ˙ dt2

d2 x Si la fuerza se debe a la gravedad m 2 = −mg dt Para desarrollar la teor´ deecuaciones diferenciales, es util clasificar los diferentes ıa ´ tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones m´s obvias se basa en si la funci´n dea o sconocida depende de una o varias variables independientes. Llegamos as´ a la siguiente ı o o Definici´n 5.2 (Ecuaci´n diferencial ordinaria) Llamamos ecuaci´n diferencial oro dinaria (E.D.O.) a aquellas ecuaciones diferenciales en las que figuranderivadas de difer1

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entes ´rdenes de la funci´n desconocida y(x) , que depende s´lo de una variable indepeno o o diente. Definici´n 5.3 (Ecuaci´n diferencial en derivadas parciales) Llamamos ecuaci´n o o o diferencial en derivadas parciales (E.D.P.) a aquellas ecuaciones diferenciales en las que aparecen derivadas parciales dediferentes ´rdenes de la funci´n desconocida , respecto de o o sus variable independientes (dos o m´s). a Ejemplos
  y − 5y = 1             

De E.D.O.

(x + y)dx − 4ydy = 0 y − 2y + 6y = 0

De E.D.P.  

 ∂u  ∂u     ∂x = − ∂y         2  ∂ u(x, y)  ∂ 2 u(x, y)   + =0    ∂x2 ∂y 2   2 ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y)   α  =   ∂x2 ∂y         2  ∂ 2 u(x,y)  2 ∂ u(x, y)  a  =  2 2

ecuaci´n del potencial o

ecuaci´n de difusi´n del calor o o

∂x

∂y

ecuaci´n de onda o

Otra de las clasificaciones se basa en el orden de la derivada. Definici´n 5.4 (Orden de una ecuaci´n diferencial) Se llama orden de una ecuaci´n o o o diferencial al de la derivada (ordinaria o parcial) de mayor orden que figura en dicha ecuaci´n o As´, diremos que lasecuaciones diferenciales son de primer orden, de segundo orden, ı de tercer orden, ... y en general, de orden n. Una ecuaci´n diferencial de orden n se escribir´ como o a F (x, y, y , · · · , y (n) ) = 0 o F (x, y, dy dn y ,···, n) = 0 dx dx

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Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden venir expresadas en forma normal y =f (x, y) o bien en la forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Ambas son equivalentes: y = f (x, y) ⇐⇒ dy = f (x, y) dx ⇐⇒ ⇐⇒ dy − f (x, y)dx = 0 dy P (x, y) =− . dx Q(x, y)

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

La E.D. puede venir expresada tambi´n en forma impl´ e ıcita F (x, y, y ) = 0 y no sea posible despejar la y (estos casos no lo estudiaremos). Otra clasificaci´n se basa en la linealidad: o o oDefinici´n 5.5 (Ecuaci´n diferencial lineal) Una ecuaci´n diferencial es lineal cuando o es lineal en y(x) y en sus derivadas, es decir, los t´rminos que contienen la funci´n e o inc´gnita y sus derivadas y , y , ..., y (n) aparecen como combinaci´n lineal de y, y , y , ..., y (n) . o o La forma general de la E.D. lineal de orden n es y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y + an (x)y = h(x) Ejemplos xdx+ ydy = 0 y − 2y + y = 0 y 3 y − 2y = x y + y2 = 0 E.D. no Lineal de orden 1 E.D.L. de orden 2 E.D. no Lineal de orden 2 E.D. no Lineal de orden 3

Definici´n 5.6 (Soluciones de una ecuaci´n diferencial) Resolver una ecuaci´n o o o diferencial consiste en obtener al menos una funci´n u(x) que la verifique. Como se o parte de una ecuaci´n que contiene derivadas de y(x) y se trata de llegar a...