Ecuaciones Diferencialles

INTRODUCCION

La matemática está presente en nuestra vida cotidiana hallándose una de sus representaciones en los modelos matemáticos y en especial las ecuaciones diferenciales en sus diversos órdenes. La explicación del mundo mediante las ecuaciones diferenciales pone en evidencia uno de los grandes corolarios de la experiencia humana: la única constante en el mundo es el cambio, expresada demanera grácil y ágil por las ecuaciones diferenciales y en general por el cálculo infinitesimal.

Los ejercicios propuestos son una herramienta para afianzar nuestros conocimientos y profundizar en los temas aprendidos en la Unidad No. 2 del Curso de Ecuaciones Diferenciales que imparte la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD –, al mismo tiempo debemos indicar quetoda persona que quiere aprender a desarrollar ecuaciones diferenciales debe manejar las técnicas para el desarrollo de estas.

Es necesario la práctica y la aplicación de cada una de las herramientas dadas en el campus y en el módulo, para lograr la eficacia en la realización de cada uno de los ejercicios, como también debemos tener una constante comunicación con nuestroscompañeros de trabajo colaborativo.

Esperamos cumplir con los requisitos de la guía del trabajo y continuar con esa motivación que se ha mostrado hasta el momento

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

• Explorar Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y orden Superior

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Aplicar las temáticas tratadas en cada uno de los capítulos de la unidad 2del módulo Ecuaciones Diferenciales.

• Desarrollar las habilidades para resolver los distintos tipos de ejercicios de Ecuaciones diferenciales.

• Despertar la creatividad en el desarrollo de soluciones a problemas.

• Analizar una realidad cercana y buscar una aproximación mediante un modelo matemático que Emplee Ecuaciones Diferenciales de segundo orden.

DESARROLLO

1.Determine la solución general de cada ecuación diferencial de segundo orden

4y” + y’ = 0

Ecuación característica:
4 m2 + m = 0
m (4m + 1) = 0
m1 = 0
m2 4m +1 = 0 4m = -1 m = -1/4

Utilizo el caso de raíces reales distintas:
Y = C1 e mx + C2 e mx
Y = C1 e 0x + C2 e -1/4x
Y’ = – ¼ C2 e -1/4x
Y”= 1/16 C2 e -1/4x

Solución de la ecuación Diferencial
4y” +y’ = 0
4 (1/16 C2 e -1/4x ) – ¼ C2 e -1/4x = 0
¼ C2 e -1/4x - ¼ C2 e -1/4x = 0
0. = 0

Y” + 36y = 0

Ecuación característica:
m2 + 36 = 0
(m + 6) 2 = 0
m2 + 12 m + 36
(m+6)(m+6) m+6 = 0 m1 = -6 m2 = -6

Utilizo el caso de raíces reales repetidas:
Y = C1 e -6x + C2 X e -6x

y” - 8y’ + 16y = 0

Ecuación característica:
m2 - 8 m + 16 =0
(m - 4)(m - 4) = 0
m 1 = 4
m 2 = 4
Utilizo el caso de raíces reales repetidas:
Y = C1 e 4x + C2 X e 4x

12y” – 5Y’ – 2Y = 0

Ecuación característica:
12m2 - 5 m - 2 = 0

M = - b +/- [pic]
2a

M = - 5 +/- [pic]
2(12)
M = - 5 +/- [pic]
24
M 1 = -5 +11/24 = 1/4
M 2 = -5 - 11/24 = -2/3

Utilizo el casode raíces reales distintas:
Y = C1 e mx + C2 e mx
Y = C1 e 1/4x + C2 e -2/3x
Y’ = ¼ C1 e 1/4x - 2/3 C2 e -2/3x
Y” = 1/16 C1 e 1/4x + 4/9 C2 e -2/3x

Solución de la ecuación Diferencial

12y” – 5Y’ – 2Y = 0
12 (1/16 C1 e 1/4x + 4/9 C2 e -2/3x ) – 5 ( ¼ C1 e 1/4x - 2/3 C2 e -2/3x) -2 ( C1 e 1/4x + C2 e -2/3x ) = 0
¾ C1 e 1/4x + 48/9 C2 e -2/3x – 5/4 C1 e 1/4x 10/3C2 e -2/3x -2 C1 e 1/4x -2 C2 e -2/3x = 0
-4 C1 e 1/4x + 20/3 C2 e -2/3x = 0

2. Encuentre y clasifique las soluciones para cada ejercicio en los siguientes Casos:

Caso 1: Soluciones reales y distintas.
Caso 2: Soluciones iguales y reales.
Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas.

y” + 9y = 0

Ecuación característica:
m2 + 9 = 0
(m + 3) 2 = 0
m2 + 6 m + 9...