Ecuaciones diferenciasles

 Ecuación de Bernoulli
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [a,b] y 
es una constante real diferente de 
y 
se conoce como ecuación de Bernoulli (1.2).
Teorema:
La ecuación de Bernoulli

(1.2.1)
se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución u = y1 - n.Demostración:
Al dividir la ecuación 1.2.1 por yn, resulta

(1.2.2)

Usando la regla de la cadena, calculemos y' a partir de la sustitución u = y1 - n

Sustituyendo en la ecuación 1.2.2, esta se transforma en

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.
Ejemplo:

Resuelva la ecuación

Ésta es una ecuación de Bernoullicon n = 3, P(x) = -5 y Q(x) = -5x/2. Para resolverla primero dividamos por y3

Ahora efectuemos la transformación u = y -2. Puesto que du/dx = -2ydy/dx, la ecuación se transforma en

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

y al sustituir u = y -2 se obtiene la solución de la ecuación original

Ecuación de Clairaut
Una ecuación diferencial de primer orden f(x,y,y') = 0 que puede escribirse en la forma

seconoce como ecuación de Clairaut . Donde g(x) es una función continuamente diferenciable.
El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut.
Teorema
La ecuación deClairaut

(1.3)
donde f(x) es una función derivable, tiene como solución general y = cx + f(c) y como solución singular

Demostración
Para resolver la ecuación (1.3) hacemos la sustitución u = y' para obtener

(1.3.1)
Derivando ambos lados respecto a x

de donde obtenemos que

Surgen dos casos:
Caso1:
Si u' = 0, entonces u = c y sustituyendo en la ecuación (1.3.1) obtenemos lasolución general

.
Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación (1.3) y' por c.
Caso2: 
Si x + f'(u) = 0, entonces x = -f'(u) y sustituyendo en la ecuación (1.3.1) y = -uf'(u) + f(u), es decir

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde u es el parámetro.
Ejemplo: 
Resuelva la ecuación diferencial

La solución general es la familia derectas

y como

la solución singular está dada por

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio 2, x2 + y2 = 4. En la figura se muestra la familia de rectas tangentes

y la envolvente

.

Ecuacion de Riccati
La ecuación diferencial dy/dx=P(x) +Q(x)y + R(x)y2 es llamada ecuación de Riccati
 Una ecuación de Riccati se puede resolver con dos sustitucionesconsecutivas, siempre y cuando se conozca la ecuación particular, y1, de la ecuación. Primero se emplea la sustitución. Primero se emplea la sustitución y=y1 + u, y luego se discute como continuar
 Se halla la familia monoparametrica de soluciones de la ecuación diferencial
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Operadores diferenciales
En cálculo la diferenciación suele identificarse con la D mayúscula; esto es, dy/dx=Dy. Elsímbolo D se llama operador diferencial por que transforma una función diferencial en otra función; por ejemplo, D ( Cos4x)= -4sen 4x y D(5x3 - 6x2)= 15x2 - 12x. las derivadas de orden superior se pueden expresar en términos de D en forma naturas:
= D(Dy)= D2 y en general 
= Dny.
En donde y representa una función suficientemente diferenciable. Las expresiones poligonales donde interviene D, como D+3, D2 - 4 y 5x3 D3 - 6x2 D2 + 4xD + 9 también son operadores diferenciales. En general, el operador diferencial de orden n se define:
L= an(x)Dn + an-1(x)Dn-1 + . . . + a1(x)D + a0(x).
Solución general de la ecuación homogénea
Sean y1,y2, . . ., yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, entonces la solución...