Ecuaciones Difereniciales

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Parte IV

Ecuaciones Diferenciales
Esta sección tiene como propósito dar algunos de los conceptos básicos relacionados con las
ecuaciones diferenciales e ilustrar su importancia en la resolución de problemas en diferentes
campos del conocimiento. Se estudiarán algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y algunas de sus aplicaciones.

1.

De…nición de Ecuación Diferencial

Si enuna ecuación, la incógnita es una función de una o varias variables y si en la ecuación
aparece una o más derivadas de la función (derivadas parciales si se trata de una función de
varias variables) entonces se dice que ella es una ecuación diferencial.
dy
. Esta
Recordemos que dada una función y = f (x) su primer derivada se denota por y 0 o por
dx
misma notación se generaliza para la segunda,tercera, ..., n-ésima derivada, respectivamente,
de la siguiente forma
d2 y 000
d3 y (4)
d4 y
dn y
(n)
y o bien 2 , y o bien 3 , y o bien 4 , : : : , y o bien n ,
dx
dx
dx
dx
00

Ejemplo 1.1 Las siguientes son ecuaciones diferenciales:
(a)

d2 y
+ xy
dx2

dy
dx

2

=0

(b) y 00 + (2 cos x) y 0 + y = ex
(c)

@v @v
+
= v; v = v (s; t) una función de dos variables.
@s
@t

(d) y 000 + xy 0 + x2 y = x +1
@2u @2u
(e)
+
@x2 @y 2

@2u
= 0; u = u (x; y; z) una función de tres variables.
@z 2

Según la lista de ecuaciones anterior, se puede notar que existen diferentes tipos de ecuaciones
diferenciales, donde pueden estar involucradas varias variables y derivadas, lo que claramente
nos remite a una clasi…cación de las mismas. En primer lugar observe que en (a), (b) y (d)
la función incognita dependede una sola variable; estas se llaman ecuaciones diferenciales

1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

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ordinarias. Mientras que en las ecuaciones (c) y (e) la función incógnita depende de dos y tres
variables, respectivamente. Si en una ecuación diferencial la función incógnita depende de dos o
más variables se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales o simplemente
unaecuación diferencial parcial.
Nuestro propósito es estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias, estas se pueden calsi…car
de acuerdo con el orden de la mayor de las derivadas de la función incógnita presente en la
ecuación. Para lo cual vamos a dar la siguiente de…nición:
De…nición 1.1 (Oden de una ED) Si el orden máximo de las derivadas que …guran en una
ecuación diferencial es igual a n, se diceque la ecuación diferencial es de orden n (o que es
de n esimo orden):
Ejemplo 1.2 Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) y 00 + xy 0 = sin x
(b) y (4)
(c)

y 000 = y 0 y + 2x5

d2 y
+ xy
dx2

dy
dx

2

=0

(d) y 000 + xy 0 + x2 y = x + 1
R/ (a) orden 2, (b) orden 4, (c) orden 2 y (d) orden 3
En general, una ecuación diferencial ordinaria de n esimo orden es una ecuacióndel
tipo
F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0
donde F es una función de n + 2 variables, donde x es la variable independiente, y la función
incógnita (depende de x) y y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) las derivas de y.
Ejemplo 1.3 Note que la ecuación (d) del ejemplo anterior es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden donde
F (x; y; y 0 ; y 00 ; y 000 ) = y 000 + xy 0 + x2 y

x

1

2SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

2.

3

Solución de una Ecuación Diferencial

Ahora vamos a considerar el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria de
n esimo orden.
De…nición 2.1 (Solución de una ED) Una solución de una ecuación diferencial ordinaria
F x; y; y 0 ; y 00 ; : : : ; y (n) = 0
sobre un intervalo abierto I es una función y = f (x) tal que las derivadas f 0 (x) ; : : :; f (n) (x)
existen y se satisface que
F x; f (x) ; f 0 (x) ; f 00 (x) ; : : : ; f (n) (x) = 0
para cualquier x 2 I.
Ejemplo 2.1 Veri…que que la función dada es solución de la ecuación diferencial.
(a)

d2 y
+ y = 0; f (x) = 2 sin x + 3 cos x
dx2

(b) y 000 + 2y 00

3y 0 = 0; g (x) = e

(c) 2x2 y 00 + 3xy 0
(d) u00

3x

1

y = 0; y = x 2

u = e2t ; u = C1 et + C2 e

t

+ 13 e2t , con C1 ; C2...