ecuaciones diferensiales


Ecuaciones diferenciales

Unidad 3
Investigación
Transformada de Laplace

Aldo Medrano Beltrán
N de control: 11560226

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LAZARO CARDENAS
Itlac

Ingeniero Gonzalo Guichard Hernández







Unidad 3
Transformada de Laplace
3.1 Teoría preliminar
3.1.1 Definición de la Transformada de Laplace
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transf.De Laplace
3.2 Transformada directa
3.3 Transformada inversa
3.4 Propiedades
3.4.1 Transf de Laplace de funciones definidas por tramos
3.4.2 Función escalón unitario
3.4.3 Propiedades de la T.L. Linealidad y Teorema de Traslación
3.4.4 T.L. de funciones multiplicadas por tⁿ y divididas entre t
3.4.5 Transformada de derivadas
3.4.6 Transformada de integrales
3.4.7 Teorema deconvolución
3.4.8 Trasformada de Laplace de una función periódica
3.4.9 Función Delta Dirac.
3.4.10 Transformada de Laplace de la función Delta de Dirac
3.5 Solución de ecuaciones







3.1 Teoría preliminar.
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace.
Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una funciónindefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.
La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto es porque transforma las operaciones de integraciónen simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformada inversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada. El procedimiento completo puede demostrarse como,
Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f (t), la transformada de Laplace se definecomo la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son [0,)”.
Aquí, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el parámetro de entrada de la función valorada real y s es el parámetro de la función compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La función de entrada se define en el intervalo cerrado [0,).La notación convencional de la transformada de Laplace es L {f (t)} o F(s).
Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la función de entrada. Estos son:
1. La entrada de la función valorada real debe ser una función a trozos que esté continuamente definida por el intervalo cerrado [0,).
2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, lafunción debe alcanzar el orden exponencial. En términos simples, debe existir una constante de tres términos, K, t donde,
Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sino suficientes.
Una transformada de Laplace puede considerarse como un super conjunto de la representación Factor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformadade Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posición estática. Sin embargo, también es posible utilizarla para modelar la tasa de variación de algún sistema.
A continuación se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:
1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuacióndiferencial dada. Esto se hace mediante la sustitución de d/ dt con s, el cual es el parámetro de la ecuación transformada.
2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la función de entrada en el dominio de s.
3. Haz uso de los métodos algebraicos para combinar la función de transferencia con la función de entrada con el fin de determinar la función de salida.
4. Factoriza la función de...